Strukturierung - Ebenengleichung in Koordinatenform

Eine Ebenengleichung anders darstellen

Die Lage einer Ebene im 3D-Raum lässt sich mit Hilfe von zwei Vektoren eindeutig festlegen:

• mit einem Stützvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
• mit einem Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene ist.

Die Grundidee einer Ebenengleichung in Normalenform besteht darin, dass alle Verbindungsvektoren vom Stützpunkt zu einem Punkt der Ebene orthogonal zum Normalenvektor sind.

Diese Grundidee lässt sich auch mit einer Ebenengleichung in Koordinatenform beschreiben.

Zum Herunterladen: koordinatenform1.ggb

Aufgabe 1

Analysiere die beiden Gleichungen im Applet. Erläutere, dass sie beide den gleichen Zusammenhang beschreiben – diesen aber in unterschiedlicher Weise darstellen: einmal durch eine Vektorbeziehung, einmal mit Hilfe der Koordinaten. Also: Gleiche Idee, andere Darstellung!

Eine Normalenform in eine Koordinatenform umwandeln

Die Umwandlung einer Ebenengleichung in Normalenform in eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist hier Schritt für Schritt durchgeführt.

Version 1	Version 2
$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
$E : \left[\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	$E : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
$E : \left(\begin{array}{c} x_1 - 3 \\ x_2 - 1 \\ x_3 - 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	$E : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$
$E : (x_1 - 3) \cdot 1 + (x_2 - 1) \cdot 0 + (x_3 - 2) \cdot 2 = 0$	$E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$
$E : x_1 - 3 + 2x_3 - 4 = 0$	$E : x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2$
$E : x_1 + 2 x_3 = 7$	$E : x_1 + 2 x_3 = 7$

Aufgabe 2

(a) Erläutere jeden einzelnen Schritt der gezeigten Umformungen. Beachte, dass Version 2 Rechengesetze für das Skalarprodukt benutzt. Das Ausmultiplizieren von Klammern ist nur möglich, wenn das Distributivgesetz für das Skalarprodukt erfüllt ist. Wir werden dieses Rechengesetze im Kapitel "Skalarprodukt von Vektoren" thematisieren.

(b) Wandle analog die folgenden Ebenengleichung in Normalenform in eine Koordinatenform um.

1. $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
2. $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = 0$
3. $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
4. $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Eine Koordinatenform in eine Normalenform umwandeln

Bei der Umwandlung einer Ebenengleichung in Koordinatenform in eine Ebenengleichung in Normalenform werden die Umformungsschritte umgekehrt.

$E : 3x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 12$

$\downarrow$

$E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = \underbrace{\left(\begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right)}_{12}$

Hier benötigt man jetzt die Koordinaten eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$, der in der Ebene $E$ liegt. Es gibt (unendlich) viele solche Punkte, z.B. $(4|0|0)$ oder $(0|2|0)$ oder .... Mit einem dieser Punkte kann man die Umwandlung fortsetzen.

$E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = \underbrace{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right)}_{12}$

$\downarrow$

$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = 0$

Aufgabe 3

(a) Erläutere auch hier jeden einzelnen Schritt der Umformung.

(b) Wandle analog die folgenden Ebenengleichung in Koordinatenform in eine Normalenform um.

1. $E : 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 6$
2. $E : x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6$
3. $E : 3x_1 + 4x_3 = 12$
4. $E : x_1 = 4$

Aufgabe 4

Begründe: Jede lineare Gleichung der Gestalt $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, bei denen mindestens eine der Zahlen $a, b, c$ ungleich 0 ist) beschreibt eine Ebene im 3D-Raum.