Strukturierung - Ebenengleichung in Normalenform

Zielsetzung

Eine Ebene mit einer Gleichung beschreiben

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt.

Zum Herunterladen: wuerfel3.ggb

Mit der folgenden Vektorgleichung kann man eine Ebene beschreiben. Man nennt sie auch Ebenengleichung in Normalenform. Ziel ist es herauszufinden, welche Ebene das ist.

$E_1 : \left[\vec{x} - \underbrace{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)}_{\vec{p}}\right] \cdot \underbrace{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)}_{\vec{n}} = 0$

Aufgabe 1

Die Ebenengleichung verwendet den Stützvektor $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ und den Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$. Verdeutliche diese Vektoren am Würfel. Stelle eine Vermutung auf, welche Ebene mit der gegebenen Gleichung beschrieben wird.

Eine Punktprobe durchführen

Wie überprüft man mit der Ebenengleichung, ob eine Punkt $X$ in der Ebene $E_1$ liegt? Im letzten Abschnitt hast du die folgende Bedingung hergeleitet:

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der mit $\vec{p}$ und $\vec{n}$ beschriebenen Ebene genau dann, wenn gilt: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$.

Für den Punkt $X(4|4|0)$ erhält man auf diese Weise:

$\left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) = -8$ $\Rightarrow$ $X$ liegt nicht in der Ebene $E_1$.

Aufgabe 2

Gehe analog vor und überprüfe, welche Eckpunkte des Würfels in der Ebene $E_1$ liegen. Die Punktproben kannst du jeweils mit dem Applet überprüfen. Stimmt deine Vermutung aus Aufgabe 1?

Ebenengleichungen direkt durchschauen

Mit dem Wissen über Ebenengleichungen der Gestalt $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ kannst du die folgende Aufgabe mental im Kopf bearbeiten.

Aufgabe 3

Hier sind weitere Ebenen mit Ebenengleichungen in Normalenform gegeben. Mache dir jeweils die Lage des Stützvektors und des Normalenvektors am Würfel klar und ermittle so, welche Ebene hier beschrieben wird.

• $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_4 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_5 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_6 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_7 : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
• $E_8 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$

Ebenengleichungen selbst aufstellen

Wenn man eine Ebenengleichung in Normalenform selbst aufstellen möchte, muss man sich nur einen Stützvektor und einen Normalenvektor der Ebene besorgen.

Aufgabe 4

Beschreibe die folgenden Ebenen am Würfel mit Ebenengleichungen in Normalenform. Du kannst die Ergebnisse aus Aufgabe 1 des letzten Abschnitts hier benutzen.

1. Ebene durch $E$, $F$, $G$, $H$
2. Ebene durch $E$, $F$, $B$, $A$
3. Ebene durch $B$, $C$, $G$, $F$
4. Ebene durch $A$, $D$, $H$, $E$
5. Ebene durch $E$, $F$, $C$, $D$
6. Ebene durch $B$, $C$, $H$, $E$
7. Ebene durch $F$, $C$, $H$
8. Ebene durch $E$, $B$, $D$

Das neue Wissen festhalten

Aufgabe 5

In der folgenden LearningApp siehst du die Bestandteile einer Ebenengleichung in Normalenform. Beschrifte sie passend. Erkläre dann mit den Begriffen die Funktionsweise der Ebenengleichung:

„Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann liegt der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu $X$, ... Deshalb ... Also ... Wenn das Skalarprodukt nicht 0 ist, dann ...“

Aufgabe 6

Halte das Gelernte in den oberen beiden Boxen des Wissensspeichers fest.