Übungen - Orthogonalität und Lagebeziehungen

Aufgabe 1: Lagebeziehungen untersuchen

Gegeben sind die folgenden geometrischen Objekte:

$E_1:3x_1+4x_3=12$

$E_2:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)=0$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

$E_3:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Untersuche, welche Lagebeziehungen zwischen den Objekten jeweils vorliegt (mit Begründung). Fertige eine Skizze an, in der die Lage der Objekte zueinander verdeutlicht wird.

Aufgabe 2: Eine geometrische Konstellation erstellen

(a) Gegeben ist die Ebene $E_1$:

$E_1:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$

Folgende Situation soll erzeugt werden:

• $E_2$ und $E_3$ sind orthogonal zu $E_1$.
• $E_2$ und $E_3$ sind echt parallel.
• $g$ schneidet $E_2$ und $E_3$ orthogonal.
• $g$ liegt nicht $E_1$.

(b) Gegeben ist die Ebene $E_1$:

$E_1:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

Folgende Situation soll erzeugt werden:

• $E_2$ ist echt parallel zu $E_1$.
• $E_3$ ist orthogonal zu $E_1$.
• $g_1$ und $g_2$ schneiden $E_1$ orthogonal.
• $g_1$ und $g_2$ sind nicht identisch.