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Erkundung - Experimente mit einem 12-Knotenseil

Rechte Winkel abstecken

Das aktuelle Kapitel beschäftigt sich mit rechten Winkeln – man sagt auch Orthogonalität –, weil man sie in der Praxis sehr oft benötigt. Auf dieser Seite wiederholen wir dafür Grundlagen aus der Mittelstufe – zweidimensional und ganz ohne Vektoren.

Weißt du, wie man rechte Winkel draußen im Gelände absteckt – z.B. wenn man ein rechteckiges Grundstück markieren will? Man benutzt ein 12-Knotenseil bzw. die die 3-4-5-Methode benutzt. Wie das funktioniert, kannst du dir im Videobeitrag anschauen, oder – noch besser – mit dem folgenden Applet selbst herausfinden.

Ein 12-Knotenseil verwenden

Ein 12-Knotenseil ist ein geschlossenes Seil, das aus 12 gleich langen Abschnitten besteht, die mit 12 Knoten markiert sind. Wenn man es an passenden Knoten anfasst und zu einem Dreieck auseinanderzieht, dann entsteht an einer Ecke ein rechter Winkel.

Zum Herunterladen: knotenseil1.ggb

Aufgabe 1

Variiere mit dem Schieberegler die Zahl $n$ . Was ändert sich hierdurch? Was beschreibt die Zahl $n$ ? Für welche Einstellungen von $n$ erhält man beim Eckpunkt $C$ einen rechten Winkel? Erläutere die Funktionsweise eines 12-Knotenseils.

Aufgabe 2

Benutze das 12-Knotenseil im Applet, um ein Rechteck $P Q R S$ abzustecken. Hinweis: Mit der Ecke $A$ kannst du das Seil verschieben, mit der Ecke $B$ das Seil drehen.

Den mathematischen Hintergrund klären

Ein 12-Knotenseil liefert nur bei den Einstellungen "3-4-5" einen rechten Winkel. Probiere es selbst aus.

Zum Herunterladen: knotenseil2.ggb

Aber warum? Genau dieser Frage gehen wir im Folgenden nach.

Zum Herunterladen: pythagoras1.ggb

Aufgabe 3

Bewege den Punkt $C$ so, dass ein rechter Winkel bei $C$ entsteht. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Flächeninhalten $a^{2}$ , $b^{2}$ und $c^{2}$ ?

Aufgabe 4

Du hast es sicher bereits erkannt, dass es hier um den Satz des Pythagoras geht. Dieser Satz macht zwei Aussagen:

Wenn der Winkel bei $C$ ein rechter Winkel ist, dann gilt ...

Umkehrung: Wenn $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ gilt, dann ...

Vervollständige beide Aussagen.

Aufgabe 5

Jetzt kannst du die Funktionsweise des 12-Knotenseils erklären. Warum liefert die Einstellung "3-4-5" einen rechten Winkel? Welchen Teil des Satzes von Pythagoras benutzt man bei der Argumentation?