Zusammenfassung - Orthogonalität bei Vektoren
Orthogonale Vektoren
Die folgenden Ausführungen beziehen sich alle auf Vektoren im 3D-Raum. Alle Bezeichnungen und Zusammenhänge lassen sich analog auf die 2D-Ebene übertragen.
Orthogonalität ist eine Eigenschaft in der Geometrie, die in vielen Anwendungen und Problemstellungen von zentraler Bedeutung ist. So ist ein Würfel ein geometrischer Körper, bei dem aneinander stoßende Kanten senkrecht bzw. orthogonal zueinander sind.
Der Orthogonalitätsbegriff lässt sich auch auf Vektoren übertragen.
Definition:
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (die beide kein Nullvektor sind) nennt man orthogonal genau dann, wenn die zugehörigen Vektorpfeile orthogonal zueinander sind.
Schreibweise:
Mit der Schreibweise $\vec{a} \perp \vec{b}$ drückt man aus, dass die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind.
Beispiel:
Im Würfel im Applet sind u.a. folgende Vektoren orthogonal zueinander:
$\overrightarrow{ GF } \perp \overrightarrow{ GH }$, $\overrightarrow{ GH } \perp \overrightarrow{ GC }$, $\overrightarrow{ GC } \perp \overrightarrow{ GF }$.
Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb
Eine Orthogonalitätsbedingung für Vektoren
Orthogonalität bei Vektoren lässt sich mit Hilfe der Koordinaten der Vektoren überprüfen. Betrachte eine Situation, in der zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ mit ihren Koordinaten gegeben sind.
Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen ein Dreieck auf, dessen dritte Seite mit dem Vektor $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = \left(\begin{array}{c} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{array}\right)$ beschrieben werden kann.
Zum Herunterladen: orthovektoren4.ggb
Nach dem Satz des Pythagoras gilt $\vec{a} \perp \vec{b}$ genau dann, wenn $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2$.
Für die Quadrate der Vektorbeträge erhält man folgende Formeln:
$\begin{array}{lcl} |\vec{a}|^2 & = & \left(\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\right)^2 \\ & = & a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \end{array}$
$\begin{array}{lcl} |\vec{b}|^2 & = & \left(\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}\right)^2 \\ & = & b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \end{array}$
$\begin{array}{lcl} |\vec{c}|^2 & = & \left(\sqrt {(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}\right)^2 \\ & = & (b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2 \\ & = & (b_1^2 - 2b_1a_1 + a_1^2) + (b_2^2 - 2b_2a_2 + a_2^2) + (b_3^2 - 2b_3a_3 + a_3^2) \\ & = & (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{array}$
Es gilt also:
$\vec{a} \perp \vec{b}$
$\Leftrightarrow $
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2$
$\Leftrightarrow $
$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$
$\Leftrightarrow $
$0 = - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$
$\Leftrightarrow $
$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$
Man erhält damit folgende Orthogonalitätsbedingung:
Satz:
Zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ (die beide kein Nullvektor sind) sind orthogonal zueinander genau dann, wenn die Bedingung $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ erfüllt ist.
Beispiel:
Betrachte noch einmal den Würfel im Applet.
Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb
Es gilt: $\overrightarrow{ GF } = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{ GH } = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.
Die Bedingung $0 \cdot (-4) + (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$ ist erfüllt, die beiden Vektoren sind orthogonal zueinander.
Es gilt: $\overrightarrow{ GF } = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{ GB } = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right)$.
Die Bedingung $0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (-4) = 0$ ist nicht erfüllt, die beiden Vektoren sind nicht orthogonal zueinander.
Skalarprodukt von Vektoren
Zur Überprüfung der Orthogonalität von zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ berechnet man aus den Koordinaten der Vektoren die Produktsumme $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$. Für diese Produktsumme führt man eine neue Sprech- und Schreibweise ein.
Definition:
Aus zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ berechnet man das Skalarprodukt folgendermaßen:
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
Beispiele:
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0 \cdot (-4) + (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right) = 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (-4)= 16$
Diese Produktbildung werden wir im nächsten Kapitel noch genauer untersuchen.
Wir verwenden diese Produktbildung, um die Orthogonalität von Vektoren zu überprüfen. Es gilt der folgende Zusammenhang.
Satz:
Zwei Vektoren (die beide kein Nullvektor sind) sind orthogonal zueinander genau dann, wenn das Skalarprokt der beiden Vektoren 0 ergibt. In mathematischer Kurzschreibweise:
$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \perp \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = 0$
Die Orthogonalitätsüberprüfungen kan man mit dem Skalarprodukt etwas kürzer hinschreiben.
Beispiele:
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0 \cdot (-4) + (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \perp \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right) = 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (-4)= 16 \Rightarrow \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \not\perp \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right)$
