Erkundung - Orthogonale Vektoren
Ein Orthogonalitätsproblem
Auf dieser Seite werden wir die Überlegungen der letzten Seite in den dreidimensionalen Fall übertragen. Dabei kommen natürlich Vektoren zum Einsatz.
Im 3D-Gelände ist ein Grundstück abgesteckt. Bekannt sind die Koordinaten der Eckpunkte:
$P(5|-1|1)$, $Q(4|3|2)$, $R(-6|0|3)$, $S(-5|-4|3)$
Ziel ist es zu überprüfen, ob die Grundstückseiten jeweils orthogonal zueinander sind, also ob ein Rechteck vorliegt.
Zum Herunterladen: orthovektoren1.ggb
Aufgabe 1
Verschaffe dir durch Drehen der Ansicht eine Vorstellung über die Lage des Grundstücks. Stelle eine Vermutung über die Orthogonalität der Grundstückseiten auf.
Orthogonalität mit Vektoren überprüfen
Die Koordinaten der Eckpunkte des Grundstücks sind bekannt. Es bietet sich dann an, das Orthogonalitätsproblem mit Hilfe geeigneter Vektoren zu lösen.
Zum Herunterladen: orthovektoren2.ggb
Folgende Strategie bietet sich an:
- Schritt 1: ein Dreieck wählen, bei dem der zu überprüfende Winkel vorkommt
- Schritt 2: die Seiten des Dreiecks mit Vektoren beschreiben
- Schritt 3: die Beträge der Vektoren (und damit die Seitenlängen) berechnen
- Schritt 4: die Orthogonalitätsbedingung nach Pythagoras überprüfen
Aufgabe 2
Führe die Schritte zur Orthogalitätsprüfung für die im Applet gezeigte Situation durch; du sollst also überprüfen, ob an der Ecke $P$ ein rechter Winkel vorliegt. Kontrolliere die Ergebnisse.
Hier bietet sich das Dreieck $PQS$ an.
$\overrightarrow{ PS } = \left(\begin{array}{c} -10 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$, $\overrightarrow{ PQ } = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$, $\overrightarrow{ SQ } = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 7 \\ -1 \end{array}\right)$.
$| \overrightarrow{ PS } | = \sqrt{(-10)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{113}$
$| \overrightarrow{ PQ } | = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{18}$
$| \overrightarrow{ SQ } | = \sqrt{9^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{131}$
$| \overrightarrow{ PS } |^2 + | \overrightarrow{ PQ } |^2 = 113 + 18 = 131$
$| \overrightarrow{ SQ } |^2 = 131$.
Der Winkel bei $P$ ist also ein rechter Winkel.
Aufgabe 3
Führe eine analoge Orthogonalitätsüberprüfung für mindestens einen weiteren Winkel durch.
Aufgabe 4
Sicher ist dir bereits aufgefallen, dass man die Berechnungen ein wenig abkürzen kann: Braucht man wirklich den Betrag der beteiligten Vektoren? Begründe.
Ausblick: Es geht noch einfacher. Das erfährst du im nächsten Abschnitt.
