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Vertiefung - Umwandlung von Ebenengleichungen

Zielsetzung

Du kennst nun zwei verschiedene Arten, eine Ebene mit einer Gleichung zu beschreiben: In der Parameterform wird die Ebene durch zwei Spannvektoren „aufgespannt“. In der Normalenform wird die Ausrichtung stattdessen durch einen zur Ebene orthogonalen Normalenvektor beschrieben. In beiden Fällen bedarf es zusätzlich eines Stützvektors.

Auf dieser Seite wird herausgearbeitet, wie du eine Ebene von einer Darstellungsform in die andere umwandeln kannst. Das ist nützlich, weil sich je nach Fragestellung die eine oder die andere Form anbietet.

Zu einer Parameterform eine Normalenform entwickeln

Eine Firma will Solarmodule in Pyramidenform herstellen. Das hätte den Vorteil, dass die Einstrahlung am Morgen, Mittag und Abend für die Energieerzeugung genutzt werden könnte.

Zum Herunterladen: pyramidenmodul1.ggb

Für Untersuchungen an den Pyramidenmodulen ist die Firma an einer Beschreibung der Seitenflächen der Pyramide mit Ebenengleichungen in Normalenform interessiert. Diese Ebenengleichungen sollen jetzt hier entwickelt werden.

Wir benutzen folgende Pyramidendaten: Die Eckpunkte der Grundfläche haben die Koordinaten $A (0 | 0 | 0)$ , $B (4 | 0 | 0)$ , $C (4 | 4 | 0)$ , $D (0 | 4 | 0)$ . Die Spitze der Pyramide wird mit $S (2 | 2 | 8)$ beschrieben.

Wir betrachten zunächst die Ebene $E_{C D S}$ durch die Punkte $C$ , $D$ und $S$ .

Zum Herunterladen: pyramidenmodul2.ggb

Aus den gegebenen Daten lässt sich direkt eine Ebenengleichung in Parameterform bestimmen:

$E_{C D S} : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 8 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 8 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Aufgabe 1

Mache dir anhand des Applets die Bestandteilen dieser Ebenengleichung klar. Welcher Stützvektor wird hier benutzt? Welche Rolle spielen die im Applet hervorgehobenen Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{u}$ ?

Aufgabe 2

Gesucht ist eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene $E_{C D S}$ . Einen Stützvektor zu finden ist hier kein Problem. Schwieriger ist es, einen Normalenvektor $\vec{n}$ für diese Ebene zu konstruieren. Probiere es selbst. Beachte, dass ein Normalenvektor $\vec{n}$ orthogonal zu den Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sein muss. Nutze bei Bedarf die folgenden Hinweise.

(a) Begründe, dass ein Normalenvektor folgende Bedingung erfüllen muss:

Bedingung: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ bzw. $(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 8 \end{matrix}) = 0$ und $(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 8 \end{matrix})$

(b) Erläutere, dass man die Bedingung in ein LGS umwandeln kann:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 n_{1} & + & 2 n_{2} & - & 8 n_{3} & = & 0 \\ [2] & - 2 n_{1} & + & 2 n_{2} & - & 8 n_{3} & = & 0 \end{array}$

(c) Bestimme eine Lösung des LGS. Gib hierzu für eine Variable einen Wert vor, z.B. $n_{3} = 1$ . Begründe, dass dann $n_{1} = 0$ und $n_{2} = 4$ gelten muss.

(d) Bestimme mit dem Ergebnis aus (c) eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene $E_{C D S}$ .

Eine mögliche Lösung ist diese Ebenengleichung:

$E_{C D S} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Aufgabe 3

Gehe bei den Ebenen $E_{B C S}$ und $E_{A B S}$ analog vor. Bestimme jeweils zuerst eine Ebenengleichung in Parameterform. Bestimme anschließend jeweils eine Ebenengleichung in Normalenform.

Zu einer Normalenform eine Parameterform entwickeln

Ein Solarmodul soll so konzipiert werden, dass es eine Rechteckform hat.

Zum Herunterladen: rechteckmodul1.ggb

Vorgegeben ist die Ebene, in der das Modul liegen soll. Diese Ebene ist mit einer Ebenengleichung in Normalenform gegeben:

$E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Gesucht sind die Eckpunkte eines rechteckigen Moduls.

Zur Bearbeitung dieser Problemstellung ist es günstig, für die gegebene Ebene eine Ebenengleichung in Parameterform zu entwickeln.

Zum Herunterladen: rechteckmodul2.ggb

Aufgabe 4

(a) Erläutere anhand des Applets, dass es hier günstig wäre, wenn man geeignete Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ konstruieren könnte.

(b) Begründe: Für eine Ebenengleichung in Parameterform benötigt man zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , die beide orthogonal zum gegebenen Vektor $\vec{n}$ sind und die zusätzlich linear unabhängig sind. Günstig für die Konstruktion eines rechteckförmigen Moduls wäre, wenn die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht nur linear unabhängig, sondern sogar orthogonal wären.

Aufgabe 5

F. behauptet, dass die Konstruktion von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ganz einfach ist:

Fall 1: Wenn eine der Koordinaten von $\vec{n}$ gleich $0$ ist, z.B. $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ , dann kann man so vorgehen: $\vec{u} = (\begin{matrix} c \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ (mit einer reellen Zahl $c$ ungleich $0$ ) und $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ - n_{3} \\ n_{2} \end{matrix})$ .

Fall 2: Wenn alle Koordinaten von $\vec{n} = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ ungleich $0$ sind, dann kann man z.B. so vorgehen: $\vec{u} = (\begin{matrix} 0 \\ - n 3 \\ n 2 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} - n 3 \\ 0 \\ n_{1} \end{matrix})$ .

(a) Begründe, dass man in beiden Fällen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ erhält, die beide orthogonal zum gegebenen Vektor $\vec{n}$ sind und die zusätzlich linear unabhängig sind.

(b) In welchem der beiden Fälle sind die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zusätzlich auch noch orthogonal zueinander? Begründe.

Aufgabe 6

(a) Benutze die Ergebnisse aus Aufgabe 5, um die gesuchte Ebenengleichung in Parameterform zur Ebene $E$ zu konstruieren.

(b) Bestimme anschließend die Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ des rechteckförmigen Moduls.

Eine mögliche Lösung ist diese Ebenengleichung:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Mit dieser Ebenengleichung erhält man z.B.:

$A : \vec{a} = \vec{p} + \vec{u} + \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})$

$B : \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} + \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix})$

$C : \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} - \vec{v} = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$

$D : \vec{a} = \vec{p} + \vec{u} - \vec{v} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})$

Das neue Wissen festhalten

Aufgabe 7

Halte das Gelernte in der unteren Box des Wissensspeichers fest.