Vertiefung - Konstruktion orthogonaler Vektoren

Zielsetzung

Ein Rechteck konstruieren

Eine Seite eines Rechtecks ist mit den Punkten $A(-3|1)$ und $B(3|3)$ bereits vorgegeben. Diese Seite soll zu einem Rechteck $ABCD$ ergänzt werden.

Im Applet kannst du einen möglichen Punkt $D$ hier leicht durch Probieren finden. Teste selbst. Aber, wie geht das, wenn man kein Applet zum Probieren zur Verfügung hat?

Zum Herunterladen: skalarprodukt3.ggb

Man stellt eine Orthogonalitätsbedingung auf:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

bzw.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=0$

bzw.

$6v_1+2v_2=0$

Aufgabe 1

(a) Erläutere, wie die Gleichung $6v_1+2v_2=0$ hier zustande kommt.

(b) Bestimme mögliche Lösungen dieser Gleichung in der Form $(v_1;v_2)=(...;...)$.

(c) Begründe (geometrisch und rechnerisch): Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Orthogonalitätsbedingung erfüllen.

(d) Bestimme für ein mögliches Rechteck die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$. Dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.

(e) Q. behauptet: Wenn ich zum Vektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ den Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)$ wähle, erhalte ich sogar ein Quadrat. Stimmt das? Untersuche und Begründe. Erläutere auch die Strategie, die Q. hier benutzt hat, um ganz schnell zum Vektor $\overrightarrow{v}$ zu gelangen.

Eine Orthotour konstruieren

Ein Käfer soll eine Orthotour fliegen. Eine Orthotour soll eine Tour sein, bei der der Käfer immer einen Teilweg geradeaus fliegt und dann die Richtung so abändert, dass der nächste Teilweg orthogonal zum vorherigen Teilweg ist.

Startpunkt der Orthotour ist der Ursprung $(0|0|0)$.

Das erste Teilstück soll mit den Bewegungsvektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ erfolgen. Das wird hier so vorgegeben. Du kannst hier auch einen anderen Vektor wählen.

Der nächste Bewegungsvektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ soll dann so konstruiert werden, dass er orthogonal zum vorherigen Bewegungsvektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Folgende Bedingung muss also erfüllt sein:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

bzw.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=0$

bzw.

$v_1+4v_2+2v_3=0$

Gesucht ist jetzt eine Lösung dieser Gleichung. Wir schränken die Möglichkeiten etwas ein. Eine Koordinate des Vektors $\overrightarrow{v}$ wird mit einem Würfel bestimmt. Würfeln ergibt z.B. die Zahl $3$. Eine der Koordinaten von $\overrightarrow{v}$ soll dann den Wert $3$ oder $-3$ haben.

Eine mögliche Lösung wäre $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$. Prüfe es selbst nach. Dieser Vektor legt somit den zweiten Teilweg fest.

Und so weiter ... Jetzt beschreibt $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ den vorherigen Teilweg. Gesucht ist eine Fortsetzung mit $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$, die orthogonal zum vorherigen Teilweg ist und bei der eine Koordinate mit einem Würfel (wie oben) festgelegt wird.

Aufgabe 2

Die Bestimmung einer Orthotour kannst du alleine oder abwechselnd mit einem Partner / einer Partnerin durchführen.

Zur Kontrolle kannst du / könnt ihr den Käfer auf der Seite beetleblocks.com nutzen.

Importiere die Datei vektor.xml. Mit den Blöcken [Ausgangspunkt] und [Vektor] kannst du die Bewegung eines (fliegenden) Käfers festlegen.

Gib nach und nach die Käfertour ein und kontrolliere durch Drehen der Ansicht, ob die Teilwege tatsächlich orthogonal zueinander sind.

Zusatzbedingung: Versuche, durch eine geeignete Wahl der Vektoren den Käfer immer in der Nähe des Startpunktes zu halten.

Einen Quader konstruieren

Ein Quader ist ein 3D-Körper, dess Seitenflächen alle recteckig sind. Kanten, die an den Ecken zusammenstoßen, müssen also jeweils orthogonal zueinander sein.

Es ist gar nicht so einfach, einen Quader im Raum zu konstruieren. Durch Probieren kommt man hier nicht so einfach zu Ergebnissen. Ziel ist es, ein Verfahren für die Quaderkonstruktion mit Hilfe von Vektorgeometrie zu entwickeln.

Der Quader soll von einem Punkt $P$ im 3D-Raum mit drei Vektoren $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ aufgespannt werden. Das Applet zeigt einen ersten Versuch. Offensichtlich ist hier kein Quader entstanden.

Zum Herunterladen: quader3.ggb

Aufgabe 3

(a) Behalte die Koordinaten von $\overrightarrow{u}$ bei. Verändere in einem ersten Schritt die Koordinaten von $\overrightarrow{v}$ so, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ orthogonal zueinander sind. Stelle hierzu erst einmal eine Orthogonalitätsbedingung in Form einer Gleichung auf und bestimme eine Lösung dieser Gleichung. Kontrolliere mit dem Applet.

(b) Behalte jetzt die Koordinaten von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ bei. Ziel ist es, die Koordinaten von $\overrightarrow{w}$ so abzuändern, dass $\overrightarrow{w}$ orthogonal zu $\overrightarrow{u}$ und orthogonal zu $\overrightarrow{v}$ ist. Stelle eine geeignete Orthogonalitätsbedingung in Form von zwei Gleichungen auf und bestimme eine Lösung dieses Gleichungssystems. Kontrolliere mit dem Applet.

(c) Es gibt viele verschiedene Quader, die man hier konstruieren kann. Entwickle selbst mindestens einen weiteren Quader und dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.