Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln

Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundseite 6 und der Höhe 4.

Zum Herunterladen: pyramide.ggb

(a) Ermittle, welche Pyramidenseite mit welcher der folgenden Ebenengleichungen in Normalenform beschrieben wird.

$E_1:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=0$, $E_2:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)=0$, $E_3:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=0$, $E_4:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 3\end{array}\right)=0$.

(b) Bestimme für alle Ebenen eine Ebenengleichung in Koordinatenform.

Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren

Betrachte die Ebenengleichung $E:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=0$.

Wie ändert sich die zugehörige Ebenengleichung in Koordinatenform, wenn man

• den Normalenvektor zur Ebene durch einen anderen Normalenvektor ersetzt?
• den Stützpunkt der Ebene durch einen anderen Punkt der Ebene ersetzt?

Probiere das mit der gegebenen Ebenen aus. Formuliere ein Ergebnis.

Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4. Die Ecken sollen wie in im Applet bezeichnet sein.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

Beschreibe möglichst viele Ebenen, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt werden, durch eine Ebenengleichung in Koordinatenform. Am besten, du stellst hierzu erst einmal eine Ebenengleichung in Normalenform (kurz: ENF) auf und wandelst sie dann in eine Ebenengleichung in Koordinatenform (kurz: EKF) um. Ordne abschließend die Ebenengleichungen in Koordinatenform der Gestalt $a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=d$ danach, wie viele der Parameter $a,b,c$ ungleich Null sind. Stelle Beziehungen zur Lage der jeweiligen Ebenen her.

Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene

Eine Gerade in der 2D-Ebene kann man mit einer Geradengleichungen in Normalenform (kurz: GNF) und - äquivalent hierzu - mit einer Geradengleichungen in Koordinatenform (kurz: GKF) beschreiben.

Zum Herunterladen: koordinatenform2.ggb

Bestimme jeweils die fehlenden Darstellungen. Beachte, dass in der Tabelle auch ein "Zwischenprodukt" angegeben ist. Das kannst du auch weglassen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet.