Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln

Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundseite 6 und der Höhe 4.

Zum Herunterladen: pyramide.ggb

(a) Ermittle, welche Pyramidenseite mit welcher der folgenden Ebenengleichungen in Normalenform beschrieben wird.

$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_4 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.

(b) Bestimme für alle Ebenen eine Ebenengleichung in Koordinatenform.

Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren

Betrachte die Ebenengleichung $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.

Wie ändert sich die zugehörige Ebenengleichung in Koordinatenform, wenn man

• den Normalenvektor zur Ebene durch einen anderen Normalenvektor ersetzt?
• den Stützpunkt der Ebene durch einen anderen Punkt der Ebene ersetzt?

Probiere das mit der gegebenen Ebenen aus. Formuliere ein Ergebnis.

Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4. Die Ecken sollen wie in im Applet bezeichnet sein.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

Beschreibe möglichst viele Ebenen, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt werden, durch eine Ebenengleichung in Koordinatenform. Am besten, du stellst hierzu erst einmal eine Ebenengleichung in Normalenform (kurz: ENF) auf und wandelst sie dann in eine Ebenengleichung in Koordinatenform (kurz: EKF) um. Ordne abschließend die Ebenengleichungen in Koordinatenform der Gestalt $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ danach, wie viele der Parameter $a, b, c$ ungleich Null sind. Stelle Beziehungen zur Lage der jeweiligen Ebenen her.

Ebene	ENF	EKF
$E_{BCGF}$	$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$	$x_2 = 4$
$E_{BCHE}$	$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	$2x_1 + 2x_3 = 8$

Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene

Eine Gerade in der 2D-Ebene kann man mit einer Geradengleichungen in Normalenform (kurz: GNF) und - äquivalent hierzu - mit einer Geradengleichungen in Koordinatenform (kurz: GKF) beschreiben.

Zum Herunterladen: koordinatenform2.ggb

Bestimme jeweils die fehlenden Darstellungen. Beachte, dass in der Tabelle auch ein "Zwischenprodukt" angegeben ist. Das kannst du auch weglassen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet.

GNF	...	GKF
$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$	$x_1 + 2x_2 = 7$
$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right) = 0$
		$-x_1 + 3x_2 = 4$
		$2x_2 = -4$