o-mathe | Orthogonalität von Vektoren » Strukturierung

Strukturierung - Eine Orthogonalitätsbedingung

Zielsetzung

Du hast bereits für konkrete Vektoren überprüft, ob sie orthogonal zueinander sind. Auf dieser Seite geht es darum, dieses Vorgehen allgemein zu formulieren. Dabei wirst du das Verfahren der vorherigen Seite vereinfachen und eine neue kürzere Schreibweise kennenlernen.

Ein Beispiel betrachten

Wie prüft man, ob zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind?

Das Applet verdeutlicht die Vorgehensweise.

Zum Herunterladen: orthovektoren3.ggb

Aufgabe 1

Erläutere mit Hilfe des Applets, wie man bei der Überprüfung vorgeht.

Eine vereinfachte Orthogonalitätsbedingung entwickeln

Wir betrachten jetzt den Fall, dass zwei beliebige Vektoren vorgegeben sind. Die zugehörigen Pfeile sind so angeordnet, dass sie ein Dreieck aufspannen.

Zum Herunterladen: orthovektoren4.ggb

Aufgabe 2

Das folgende Applet unterstützt dich bei der Herleitung geeigneter Formeln. Bringe hierzu die Terme in eine sinnvolle Reihenfolge, bei der jeder Umformungsschritt erklärbar ist (und von dir auch erklärt werden sollte).

$| \vec{a} |^{2} = {(\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}})}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$

$| \vec{b} |^{2} = . . .$

$| \vec{c} |^{2} = . . .$

Aufgabe 3

Wenn du in Aufgabe 2 alles richtig gemacht hast, dann kannst du sicher auch den folgenden Zusammenhang erklären:

Die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ sind orthogonal (kurz $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ) genau dann, wenn die Bedingung $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$ erfüllt ist.

Aufgabe 4

Nutze die Bedingung $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$ , um im vorliegenden Beispiel zu überprüfen, ob die die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind. Ergänze hierzu die Berechnung und ziehe eine Schlussfolgerung.

$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = . . .$

Zum Herunterladen: orthovektoren5.ggb

Eine vereinfachende Schreibweise nutzen

Wenn man die Orthogonalität der beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ überprüfen möchte, dann reicht es, hierfür die Produktsumme $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ aus den Koordinaten der beiden Vektoren zu berechnen. Für diese Produktbildung führen wir eine neue Schreibweise ein.

$(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Dieses Produkt nennt man Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Um beispielsweise zu überprüfen, ob die beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} - 10 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})$ orthogonal sind, berechnet man das Skalarprodukt der beiden Vektoren aus:

$(\begin{matrix} - 10 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (- 10) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 10 - 12 + 2 = 0$

Im vorliegenden Beispiel kommt bei der Produktberechnung der Wert $0$ heraus. Hieraus können wir erschließen, dass die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind.

Aufgabe 5

Nutze das Skalarprodukt, um zu überprüfen, welche Vierecksseiten im Viereck $P Q R S$ mit $P (5 | - 1 | 1)$ , $Q (4 | 3 | 2)$ , $R (- 6 | 0 | 3)$ , $S (- 5 | - 4 | 3)$ orthogonal sind.

Zum Herunterladen: orthovektoren1.ggb

Erläutere am folgenden Beispiel, wie man vorgeht. Gehe analog bei den anderen Vierecksseiten vor.

Winkel $∠ S P Q$ :

$\vec{P S} \cdot \vec{P Q} = (\begin{matrix} - 10 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (- 10) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 10 - 12 + 2 = 0$

Die Vektoren $\vec{P S}$ und $\vec{P Q}$ sind orthogonal, der Winkel $∠ S P Q$ ist somit ein rechter Winkel.