Strukturierung - Schnittpunktberechnung mit Normalen- und Koordinatengleichungen

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Normalenform bestimmen

Betrachte folgende Situation: Gegeben ist eine Ebene $E$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform und eine Gerade $g$ mit einer Geradengleichung in Parameterform:

$E:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme den Schnittpunkt mit der Hilfe des Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden.

(b) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:

$[\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

(c) Erläutere jeden Umformungsschritt zum Lösen der Gleichung.

$[\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$[\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$4+t\cdot 4=0$ $\iff$

$4t=-4$ $\iff$

$t=-1$

(d) Erläutere, wie man mit der Lösung $t=-1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.

(e) Bei der Schnittpunktberechnung muss nur eine lineare Gleichung gelöst werden. Vergleiche mit der Schnittpunktberechnung, wenn die Ebene ebenfalls in Parameterform gegeben ist.

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Koordinatenform bestimmen

Betrachte jetzt diese Situation: Gegeben ist dieselbe Ebene $E$ wie oben - jetzt aber mit einer Ebenengleichung in Koordinatenform - und dieselbe Gerade $g$ wie oben:

$E:0\cdot x_1+1\cdot x_2+2\cdot x_3=6$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

Zum Herunterladen: schnittpunkt2.ggb

Aufgabe 2

(a) Bestimme den Schnittpunkt mit der Hilfe des Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden.

(b) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:

$0\cdot (3-t)+1\cdot (2+2t)+2\cdot (4+t)=6$

(c) Erläutere jeden Umformungsschritt zum Lösen der Gleichung.

$0\cdot (3-t)+1\cdot (2+2t)+2\cdot (4+t)=6$ $\iff$

$2+2t+8+2t=6$ $\iff$

$10+4t=6$ $\iff$

$4t=-4$ $\iff$

$t=-1$

(d) Erläutere, wie man mit der Lösung $t=-1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.

(e) Vergleiche diese Schnittpunktberechnung mit der oben. Welche ist weniger aufwendig?