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Strukturierung - Ebenenbeschreibung mit einem Normalenvektor

Zielsetzung

In der Erkundung hast du festgestellt, dass es bei Solarmodulen sinnvoll ist, ihre Ausrichtung nicht mit Spannvektoren darzustellen, sondern mit einem Vektor, der orthogonal zur Ebene verläuft. Doch geht das immer? Kann man jede Ebene auf diese Weise durch Orthogonalität beschreiben? Wie stellen wir dann fest, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt oder nicht? Das soll hier herausgearbeitet werden.

Eine Ebene positionieren und ausrichten

Im Applet kannst du die (in Ausschnitten dargestellte) Ebene mit Hilfe von zwei Vektoren positionieren und ausrichten.

Der Vektor $\vec{p}$ führt vom Ursprung $O$ zu einem Punkt $P$ der Ebene. Es handelt sich also um einen Stützvektor der Ebene.
Der Vektor $\vec{n}$ ist orthogonal zur Ebene. Ein solcher Vektor wird auch Normalenvektor der Ebene genannt.

Probiere es selbst aus.

Zum Herunterladen: normalenform1.ggb

Im Folgenden geht es um die Frage, ob man mit diesen beiden Vektoren tatsächlich jede Ebene beschreiben kann. Zur Klärung sollst du Ebenen an einem Würfel betrachten.

Zum Herunterladen: normalenform2.ggb

Aufgabe 1

Versuche jeweils, mit einer geeigneten Wahl der Vektoren $\vec{p}$ und $\vec{n}$ die folgenden Ebenen einzustellen. Es gibt jeweils mehrere Lösungsmöglichkeiten. Dokumentiere die benutzten Vektoren.

Ebene durch $E$ , $F$ , $G$ , $H$
Ebene durch $E$ , $F$ , $B$ , $A$
Ebene durch $B$ , $C$ , $G$ , $F$
Ebene durch $A$ , $D$ , $H$ , $E$
Ebene durch $E$ , $F$ , $C$ , $D$
Ebene durch $B$ , $C$ , $H$ , $E$
Ebene durch $F$ , $C$ , $H$
Ebene durch $E$ , $B$ , $D$

Punkte einer Ebene beschreiben

Mit dem folgenden Applet kannst du untersuchen, ob ein Punkt $X$ in der mit $\vec{p}$ und $\vec{n}$ vorgegebenen Ebene liegt oder nicht.

Zum Herunterladen: normalenform3.ggb

Aufgabe 2

(a) Untersuche jeweils, ob der Punkt $X$ in der mit $\vec{p} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ vorgegebenen Ebene liegt. Überprüfe jeweils mit dem Skalarprodukt. Kontrolliere deine Ergebnisse im Applet. Navigiere hierzu jeweils den Punkt an die betreffende Position.

$X (6 | - 2 | 7)$ :
$\vec{P X} \cdot \vec{n} = (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = [(\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0 - 2 + 6 = 4$
Erg.: $X$ liegt nicht in der Ebene.
$X (6 | - 2 | 6)$
$X (6 | - 2 | 5)$
$X (6 | 0 | 4)$
$X (5 | 0 | 4)$
$X (0 | 2 | 4)$
$X (6 | 2 | 3)$

(b) Ergänze das folgende Kriterium:

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der mit $\vec{p}$ und $\vec{n}$ beschriebenen Ebene genau dann, wenn gilt: ....