Übungen - Orthogonalität bei Vektoren

Aufgabe 1

Im Applet kannst du die Koordinaten der Punkte – und damit auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ – verändern. Es sind aber nur ganzzahlige Koordinaten möglich. Angezeigt wird der Winkel zwischen den Vektoren (beachte den Darstellungswechsel, wenn ein rechter Winkel entsteht) und das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

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(a) Ändere die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und beobachte gleichzeitig den Winkel zwischen den Vektoren und das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Formuliere nochmal den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen.

(b) Stelle mindestens 3 verschiedene Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ein, die orthogonal sind. Zeige jeweils mit einer Rechnung, dass die Orthogonalitätsbedingung $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ erfüllt ist.

Aufgabe 2

Wie in Aufgabe 1 kannst du auch hier die Koordinaten der Punkte – und damit auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ – verändern. Auch hier sind nur ganzzahlige Koordinaten möglich. Angezeigt wird der Winkel zwischen den Vektoren (beachte den Darstellungswechsel, wenn ein rechter Winkel entsteht) und das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

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Gelingt es dir, die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ so einzustellen, dass sie orthogonal sind? Tipp: Benutze die folgenden Strategien.

Strategie A: Navigiere Punkte an geeignete Positionen im Raum, so dass du dir die Lage zueinander gut vorstellen Kannst. Navigiere z.B. zuerst den Punkt $C$ in den Koordinatenursprung.

Strategie B: Beobachte das Skalarprodukt genau und versuche, die Koordinaten der Vektoren so zu variieren, dass das Skalarprodukt 0 ergibt.

Dokumentiere die Ergebnisse und die zugehörigen Rechennachweise mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe 3

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Folgende Bezeichnungen werden hier benutzt. Mit $M_{BF}$ wird der Mittelpunkt der Kante $BF$ bezeichnet.

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Überprüfe, ob die folgenden Vektoren jeweils orthogonal sind. Stelle zunächst eine Vermutung auf. Überprüfe dann mit dem Skalarprodukt. Dokumentiere die Ergebnisse.

(a) $\overrightarrow{GH}$ und $\overrightarrow{GB}$

(b) $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{EH}$

(c) $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{AF}$

(d) $\overrightarrow{AG}$ und $\overrightarrow{EC}$

(e) $\overrightarrow{M_{BF}M_{EF}}$ und $\overrightarrow{M_{BF}M_{AB}}$

(f) $\overrightarrow{M_{BF}G}$ und $\overrightarrow{GM_{DH}}$

(g) $\overrightarrow{M_{FG}C}$ und $\overrightarrow{M_{FG}B}$

Aufgabe 4

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Die Punkte $I$ und $J$ sind Seitenmitten.

Im Würfel ist ein Viereck $EICJ$ abgesteckt. Untersuche, um welche Art Viereck es sich hier handelt.

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(a) Setze zunächst die passende Vierecksbezeichnung (Rechteck, Raute, Quadrat, Parallelogramm) in die folgenden Charakterisierungen ein.

• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem die gegenüber liegenden Seiten parallel sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Winkel rechte Winkel sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel sind.

(b) Überprüfe mit geeigneten Vektorberechnungen, welche Eigenschaften das Viereck $EICJ$ hat und damit, um welchen Viereckstyp es sich bei diesem Viereck handelt.