Annäherung mit Nullfolgen
Das Grenzverhalten von Folgen untersuchen
Aufgabe 1
(a) Stelle jeweils eine Vermutung über den Grenzwert auf. Überprüfe die Vermutung mit den Applets (siehe unten). Welchen allgemeinen Zusammenhang vermutest du?
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(4 + \frac{1}{n} \right)} = ...$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(3 - {0.7}^n \right)} = ...$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(-1 - {(-0.9)}^n \right)} = ...$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)} = ...$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(\frac{n+1}{n} \right)} = ...$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(2 - \frac{n+1}{n} \right)} = ...$
Wiederhole Potenz-/Wurzelgesetze: Jede Wurzel lässt sich als Potenz schreiben.
Brüche wie $\frac{n+1}{n}$ sollte man am besten „auseinanderziehen“. Wenn der Zähler eine Summe ist, kann man den Bruch in zwei Brüche aufteilen: $\frac{n+1}{n} = $\frac{n}{n} + \frac{1}{n}$. Nun musst du noch kürzen, dann kannst du den Grenzwert schon erkennen.
(b) Ergänze die folgenden Sätze:
Wenn $\left( h_n \right)$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = c + h_n$ den Grenzwert ....
Wenn $\left( h_n \right)$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = c - h_n$ den Grenzwert ....
Applet 1:
Zum Herunterladen: grenzwerte1.ggb
Applet 2:
Zum Herunterladen: grenzwerte2.ggb
Aufgabe 2
Nutze die Inhalte dieser und der vorangegangenen Seite, um den folgenden Wissensspeicher auszufüllen.
Folgen mit vorgegebenen Grenzwerten konstruieren
Aufgabe 3
Gesucht ist eine Folge $\left( a_n \right)$, die ...
- ... sich dem Grenzwert $-1$ von oben nähert.
- ... sich dem Grenzwert $2$ von unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $3$ abwechseln von oben und unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $1$ sehr schnell von oben nähert.
- ... sich dem Grenzwert $1$ langsam von unten nähert.
