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Mathematisierung mit einer Folge

Ziel dieses Abschnitts ist es, das Kaffeetrinker-Problem zu bearbeiten.

Sind gesundheitliche Probleme zu befürchten, wenn man regelmäßig eine Tasse Kaffee trinkt?

Wir betrachten hierzu folgende Situation.

Eine Person trinkt alle 4 Stunden eine Tasse Kaffee (zur Vereinfachung der mathematischen Überlegungen also tagsüber und auch nachts).
Jede Tasse Kaffee enthält 90mg Koffein.
Der Koffeingehalt im Körper halbiert sich nach 4 Stunden (falls in dieser Zeit kein neues Koffein hinzugeführt wird).
Mehr als 500mg Koffein sollten nicht im Körper sein.

Zur mathematische Modellierung dieser Situation betrachten wir die Folge $(a_{n})$ mit folgender Bedeutung.

$a_{n}$ : Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$ -te Tasse Kaffee (für $n = 1; 2; 3; . . .$ )

(a) Erstelle eine Wertetabelle zur Folge $(a_{n})$ für den Bereich $n = 1; 2; . . .; 10$ (zur Kontrolle: $a_{3} = 157.5$ ).

(b) Zeichne den Graph zur Folge $(a_{n})$ .

(d) Erstelle eine Vermutung auf, wann die Grenze von 500 mg erreicht wird.