Dialog zur Konvergenz

Die Abstandsentwicklung beschreiben

Diese Folge hat - wie man direkt vermutet - den Grenzwert $g = 2$.

Mit der dem Applet (s.u.) kann man das Konvergenzverhalten der Folge genauer untersuchen. Vorab einige Hinweise zur Verwendung dem Applet.

• Die explizite Folgendarstellung $a_n = 2 + \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ ist bereits vorgegeben.
• Der vermutete Grenzwert $g = 2$ ist (mit dem blauen Punkt auf der $y$-Achse bereits eingestellt.
• Mit dem [LR]-Punkt auf der $x$-Achse kann man sich die Folgenglieder im Bereich $a_1; ...; a_{100}$ im Graphen anschauen.
• In das Eingabefeld zur Steifenbreite - die mit $\epsilon$ bezeichnet wird - kann man einen Wert (wie z.B. $\epsilon = 0.5$) eintragen. Die Streifenbreite legt die $\epsilon$-Umgebung bzw. den aktuell betrachteten Abstand zum Grenzwert $g$ fest.
• Mit dem schwarzen Punkt auf der $x$-Achse kann man die Platznummer $n$ variieren. Das zugehörige Folgenglied wird hervorgehoben. Zusätzlich wird der Abstand vom Folgenglied $a_n$ zum Grenzwert $g$ angezeigt.
• Der gelbe Punkt auf der $x$-Achse dient dazu, eine Mindestplatznummer $n_0$ so einzustellen, dass ab dieser Platznummer alle Folgenglieder in der vorgegebenen $\epsilon$-Umgebung liegen. Ab dieser Platznummer sollen also alle Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert $g$ haben, der kleiner als $\epsilon$ ist.

Zum Herunterladen: grenzwertdefinition1.ggb

Aufgabe 1

In der Tabelle ist ein Dialog über die Abstandsentwicklung der betrachteten Folge dargestellt. Verdeutliche die Argumentation anhand dem Applet. Ergänze auch die noch fehlenden Angaben.

Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = 0.5$ vorgibt, dann sieht man, dass es Folgenglieder gibt (z.B. $a_1 = 2$), die einen größeren Abstand als $\epsilon = 0.5$ zum Grenzwert $g = 2$ haben.	Ja, das stimmt. Es müssen auch nicht alle Folgenglieder nahe am Grenzwert liegen. Ab $n_0 = 5$ liegen aber alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung von $g$. Der Abstand von $a_5; a_6; a_7; ...$ vom Grenzwert $g$ ist kleiner als $\epsilon = 0.5$.
Ok. Dann mache ich den Abstand kleiner und stelle die Streifenbreite $\epsilon = 0.2$ ein. Klappt das Argument dann auch noch?	Ja, klar. Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $\epsilon$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon = 0.2$ ist.
Jetzt mache ich den Abstand noch kleiner und stelle die Streifenbreite $\epsilon = 0.1$ ein. Wie sieht es dann mit der Entwicklung der Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert aus?	Kein Problem. Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $\epsilon$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon = 0.1$ ist.
Und, funktioniert das bei jeder noch so kleinen Streifenbreite $\epsilon$?	Ja. Man muss $n_0$ nur geeignet wählen. Für die vorliegende Folge kann man $n_0 = ...$ nehmen. Ab dieser Platznummer haben alle Folgenglieder einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon$ ist.

Aufgabe 2

Betrachte die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = 1 - \displaystyle{\frac{1}{n}}$ (fürt $n = 1; 2; 3; ...$). Der vermutete Grenzwert ist $g = 1$.

Ergänze den Dialog in der Tabelle.

Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.5$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.1$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.05$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe eine beliebige Streifenbreite $\epsilon$ vor um $g$.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.

Aufgabe 3 (etwas schwieriger)

Betrachte die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$ (fürt $n = 1; 2; 3; ...$). Der vermutete Grenzwert ist $g = 0$.

Ergänze den Dialog in der Tabelle.

Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.5$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.1$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $\epsilon = 0.05$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Ich gebe eine beliebige Streifenbreite $\epsilon$ vor.	Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.