Dialog zur Konvergenz

Die Abstandsentwicklung beschreiben

Diese Folge hat - wie man direkt vermutet - den Grenzwert $g=2$.

Mit der dem Applet (s.u.) kann man das Konvergenzverhalten der Folge genauer untersuchen. Vorab einige Hinweise zur Verwendung dem Applet.

• Die explizite Folgendarstellung $a_n=2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ ist bereits vorgegeben.
• Der vermutete Grenzwert $g=2$ ist (mit dem blauen Punkt auf der $y$-Achse bereits eingestellt.
• Mit dem [LR]-Punkt auf der $x$-Achse kann man sich die Folgenglieder im Bereich $a_1;...;a_{100}$ im Graphen anschauen.
• In das Eingabefeld zur Steifenbreite - die mit $ϵ$ bezeichnet wird - kann man einen Wert (wie z.B. $ϵ=0.5$) eintragen. Die Streifenbreite legt die $ϵ$-Umgebung bzw. den aktuell betrachteten Abstand zum Grenzwert $g$ fest.
• Mit dem schwarzen Punkt auf der $x$-Achse kann man die Platznummer $n$ variieren. Das zugehörige Folgenglied wird hervorgehoben. Zusätzlich wird der Abstand vom Folgenglied $a_n$ zum Grenzwert $g$ angezeigt.
• Der gelbe Punkt auf der $x$-Achse dient dazu, eine Mindestplatznummer $n_0$ so einzustellen, dass ab dieser Platznummer alle Folgenglieder in der vorgegebenen $ϵ$-Umgebung liegen. Ab dieser Platznummer sollen also alle Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert $g$ haben, der kleiner als $ϵ$ ist.

Zum Herunterladen: grenzwertdefinition1.ggb

Aufgabe 1

In der Tabelle ist ein Dialog über die Abstandsentwicklung der betrachteten Folge dargestellt. Verdeutliche die Argumentation anhand dem Applet. Ergänze auch die noch fehlenden Angaben.

Wenn man die Streifenbreite $ϵ=0.5$ vorgibt, dann sieht man, dass es Folgenglieder gibt (z.B. $a_1=2$), die einen größeren Abstand als $ϵ=0.5$ zum Grenzwert $g=2$ haben.	Ja, das stimmt. Es müssen auch nicht alle Folgenglieder nahe am Grenzwert liegen. Ab $n_0=5$ liegen aber alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung von $g$. Der Abstand von $a_5;a_6;a_7;...$ vom Grenzwert $g$ ist kleiner als $ϵ=0.5$.
Ok. Dann mache ich den Abstand kleiner und stelle die Streifenbreite $ϵ=0.2$ ein. Klappt das Argument dann auch noch?	Ja, klar. Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $ϵ$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ=0.2$ ist.
Jetzt mache ich den Abstand noch kleiner und stelle die Streifenbreite $ϵ=0.1$ ein. Wie sieht es dann mit der Entwicklung der Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert aus?	Kein Problem. Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $ϵ$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ=0.1$ ist.
Und, funktioniert das bei jeder noch so kleinen Streifenbreite $ϵ$?	Ja. Man muss $n_0$ nur geeignet wählen. Für die vorliegende Folge kann man $n_0=...$ nehmen. Ab dieser Platznummer haben alle Folgenglieder einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ$ ist.

Aufgabe 2

Betrachte die Folge $\left(a_n\right)$ mit $a_n=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ (fürt $n=1;2;3;...$). Der vermutete Grenzwert ist $g=1$.

Ergänze den Dialog in der Tabelle.

Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.5$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.1$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.05$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe eine beliebige Streifenbreite $ϵ$ vor um $g$.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.

Aufgabe 3 (etwas schwieriger)

Betrachte die Folge $\left(a_n\right)$ mit $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{2^n}$ (fürt $n=1;2;3;...$). Der vermutete Grenzwert ist $g=0$.

Ergänze den Dialog in der Tabelle.

Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.5$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.1$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe die Streifenbreite $ϵ=0.05$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.
Ich gebe eine beliebige Streifenbreite $ϵ$ vor.	Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g$.