Grenzwertkriterium
Ein Grenzwertkriterium genau formulieren
In den vorherigen Abschnitten haben wir Beispiele für konvergente und divergente Folgen betrachtet. Hier noch einmal eine Folge mit einem Grenzwert $g$.
Zum Herunterladen: grenzwertdefinition1.ggb
In den vorherigen Abschnitten hast du erfahren, dass man für eine konvergente Folge immer eine Argumentation wie im folgenden Dialog führen kann.
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| Ich gebe eine beliebige Streifenbreite $\epsilon$ vor. | Ich kann zur Streifenbreite $\epsilon$ eine Platznummer $n_0$ angeben, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegen. Die Folgenglieder ab $n_0$ haben alle einen Abstand von $g$, der geringer als $\epsilon$ ist. |
In den vorherigen Abschnitten hast du auch erfahren, dass die Dialog-Argumentation bei divergenten Folgen nicht funktioniert.
Wir können daher die Argumentation im Dialog als Basis für eine präzise Grenzwertdefinition nutzen.
Eine Folge $\left( a_n \right)$ hat den Grenzwert $g$ genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für jede $\epsilon$-Umgebung gibt es eine Platznummer $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder der Restfolge ab $n_0$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegen.
Aufgabe 1
Betrachte noch einmal die Folgen zur Raucherentwöhnung. Begründe mit Hilfe der Grenzwertdefinition, dass die Folgen zu dem Modellen A, B, D und den Grenzwert $g = 0$ haben und dass die Folge zum Modell C keinen Grenzwert hat.
| Folge $\left( a_n \right)$ | konvergent? (ja / nein) |
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Modell A: |
ja |
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Modell B: |
ja |
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Modell C: |
nein |
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Modell D: |
ja |
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Modell E: |
ja |
