Intuitives Grenzwertverständnis
Die Intuition testen
Wir betrachten hier Folgen, die eine Raucherentwöhnung beschreiben. Jede Folge beschreibt dabei ein - etwas konstruiertes - Entwöhnungsprogramm.
Die Folgenglieder $a_n$ legen die Anzahl der Zigaretten fest, die man nach dem jeweiligen Entwöhnungsprogramm am $n$-ten Tag rauchen darf (für $n = 1; 2; 3; ...)$.
Aufgabe 1
(a) Beschreibe zunächst das jeweilige Entwöhnungsprogramm in eigenen Worten.
(b) Entscheide (nach deiner Grenzwertintuition), ob die jeweige Folge $\left( a_n \right)$ konvergent ist.
| Folge $\left( a_n \right)$ | konvergent? (ja / nein) |
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Modell A: Am 1. Tag ist $1$ Zigarette erlaubt, am 2. Tag nur noch $\frac{1}{2}$ Zigarette usw. |
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Modell B: Am 1. Tag gibt es eine letzte Zigarette, danach ist für immer Schluss mit dem Rauchen. |
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Modell C: Am 1. Tag gibt es $1$ Zigarette, dann ist 0 Tage Pause. Am 2. Tag gibt es eine $1$ Zigratte, dann ist 1 Tag Pause. Am 4. Tag gibt es wieder $1$ Zigarette, dann ist 3 Tage Pause usw.. Eine Zigarette gibt es nur an Tagen, die eine 2er-Potenz darstellen. Mit wachsender Platznummer ist das also immer seltener der Fall. |
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Modell D: Am 1. Tag ist $1$ Zigarette erlaubt, dann 2 Tage nur noch $\frac{1}{2}$ Zigarette, dann 4 Tage nur noch $\frac{1}{4}$ Zigarette usw. |
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Modell E: Das Modell funktioniert so ähnlich wie Modell D. Am Ende einer Reihe von Tagen mit einer bestimmten Zigarettenlänge (z.B. $\frac{1}{8}$ Zigarette) darf ausnahmsweise die Zigarettenlänge nochmal verdoppelt werden. |
Die Intuition abgleichen
Interessant ist es, die Intuition zur Konvergenz innerhalb einer Gruppe abzugleichen. Erfahrungsgemäß gibt es Streitfälle, bei denen es unterschiedliche Vorstellungen darüber gibt, ob Konvergenz vorliegt oder nicht.
Unterschiedliche Vorstellungen zu einem Begriff kommen im Alltag ständig vor. Das hast du sicher schon selbst erlegt.
In der Mathematik (bzw. in allen Wissenschaften) versucht man solche Situationen zu vermeiden. Die Mathematik nutzt hierzu ein Verfahren, das sich seit über 100 Jahren bewährt hat. Alle Fachbegriffe, die in der Mathematik benutzt werden, müssen vorab präzise definiert werden. Genau das werden wir in den weiteren Abschnitten mit dem Begriff "Grenzwert" vornehmen.
