Dialog zur Divergenz
Die Abstandsentwicklung beschreiben
Wir betrachten die Folge $\left( a_n \right)$ mit:
$a_n = 2 + (-1)^n$ (fürt $n = 1; 2; 3; ...$)
Diese Folge hat keinen Grenzwert - also auch nicht den Grenzwert $g = 2$.
Zum Herunterladen: grenzwertdefinition2.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche die Argumentation im Dialog anhand dem Applet. Ergänze die fehlende Angabe.
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| Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = 1.5$ vorgibt, dann liegen alle Folgenglieder ab $n_0 = 1$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g = 2$. Spricht das nicht für Konvergenz? | Das reicht natürlich nicht. Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = ...$ vorgibt, dann gelingt es nicht, eine Platznummer $n_0 = 1$ zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g = 2$ liegen. |
| Ok, das sehe ich ein. Man muss dann keine weiteren $\epsilon$-Werte betrachten? | Ja genau. Es reicht, einen $\epsilon$-Wert zu finden, für den die Folge ab einer Platznummer $n_0$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung reinpasst. Es gibt dann immer wieder Folgenglieder, die einen Mindestabstand von $\epsilon$ zum Wert $g$ haben. Die Folge kann dann nicht den Grenzwert $g$ haben. |
Aufgabe 2
Begründe, dass man einen analoge Argumentation (in Dialogform) für einen vermuteten Grenzwert $g = 1$ oder auch $g = 3$ führen kann.
