o-mathe | Von der Intuition zur Präzision

Dialog zur Divergenz

Wir betrachten die Folge $(a_{n})$ mit:

$a_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ (fürt $n = 1; 2; 3; . . .$ )

Diese Folge hat keinen Grenzwert - also auch nicht den Grenzwert $g = 2$ .

Verdeutliche die Argumentation im Dialog anhand dem Applet. Ergänze die fehlende Angabe.


Wenn man die Streifenbreite $ϵ = 1.5$ vorgibt, dann liegen alle Folgenglieder ab $n_{0} = 1$ in der $ϵ$ -Umgebung um $g = 2$ . Spricht das nicht für Konvergenz?	Das reicht natürlich nicht. Wenn man die Streifenbreite $ϵ = . . .$ vorgibt, dann gelingt es nicht, eine Platznummer $n_{0} = 1$ zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $ϵ$ -Umgebung um $g = 2$ liegen.
Ok, das sehe ich ein. Man muss dann keine weiteren $ϵ$ -Werte betrachten?	Ja genau. Es reicht, einen $ϵ$ -Wert zu finden, für den die Folge ab einer Platznummer $n_{0}$ nicht in die $ϵ$ -Umgebung reinpasst. Es gibt dann immer wieder Folgenglieder, die einen Mindestabstand von $ϵ$ zum Wert $g$ haben. Die Folge kann dann nicht den Grenzwert $g$ haben.

Begründe, dass man einen analoge Argumentation (in Dialogform) für einen vermuteten Grenzwert $g = 1$ oder auch $g = 3$ führen kann.