Grenzwertumgebung

Eine Grenzwertumgebung nutzen

Diese Folge hat - wie man direkt vermutet - den Grenzwert $g=2$.

Zur Erfassung des Abstands vom Grenzwert $g$ führen wir die $ϵ$-Umgebung ein: Wenn $g$ eine beliebige reelle Zahl ist und $ϵ$ eine positive reelle Zahl ist, dann versteht man unter der $ϵ$-Umgebung von $g$ alle Zahlen, die einen Abstand zu $g$ haben, der kleiner als $ϵ$ ist. Das ist also der Zahlenbereich zwischen $g-ϵ$ und $g+ϵ$.

Zum Herunterladen: grenzwertdefinition1.ggb

Im Applet kann man die $ϵ$-Umgebung von $g$ mit dem grünen Punkt auf der $y$-Achse verändern. Zusätzlich zur $ϵ$-Umgebung von $g$ ist im Applet ein $ϵ$-Streifen um $g$ mit Hilfe von zwei Halbgeraden eingezeichnet. Mit diesem $ϵ$-Streifen kann man anschaulich überprüfen, ob ein Folgenglied in der $ϵ$-Umgebung von $g$ liegt: Ein Punkt zu einem Folgenglied liegt im $ϵ$-Streifen zu $g$ genau dann, wenn das Folgenglied einen Abstand zu $g$ hat, der kleiner als $ϵ$ ist.

Aufgabe 1

Überprüfe, welche Folgenglieder der Beispielfolge in der $ϵ=0.5$-Umgebung von $g=2$ liegen. Überprüfe auch, welche Folgenglieder der Beispielfolge in der $ϵ=0.25$-Umgebung von $g=2$ liegen.

Eine Restfolge betrachten

Wenn eine Folge $\left(a_n\right)$ den Grenzwert $g$ hat, dann müssen nicht alle Folgenglieder $a_n$ nahe am Grenzwert $g$ liegen. Es reicht, wenn das ab einer Mindestplatznummer $n_0$ der Fall ist. Man betrachtet also die Restfolge ab einer Platznummer $n_0$, die aus den Folgengliedern $a_{n_0};a_{n_0+1};...$ besteht.

Im Applet kann man die Restfolge ab $n_0$ mit dem gelben Punkt auf der $x$-Achse einstellen.

Aufgabe 1

Bestimme $n_0$ so, dass die alle Folgenglieder der Restfolge ab $n_0$ in der $ϵ=0.5$-Umgebung von $g=2$ liegen (bzw. der $ϵ=0.5$-Umgebung von $g=2$ liegen).