Grenzwertumgebung
Eine Grenzwertumgebung nutzen
Wir betrachten die Folge $\left( a_n \right)$ mit:
$a_n = 2 + \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ (fürt $n = 1; 2; 3; ...$)
Diese Folge hat - wie man direkt vermutet - den Grenzwert $g = 2$.
Zur Erfassung des Abstands vom Grenzwert $g$ führen wir die $\epsilon$-Umgebung ein: Wenn $g$ eine beliebige reelle Zahl ist und $\epsilon$ eine positive reelle Zahl ist, dann versteht man unter der $\epsilon$-Umgebung von $g$ alle Zahlen, die einen Abstand zu $g$ haben, der kleiner als $\epsilon$ ist. Das ist also der Zahlenbereich zwischen $g - \epsilon$ und $g + \epsilon$.
Zum Herunterladen: grenzwertdefinition1.ggb
Im Applet kann man die $\epsilon$-Umgebung von $g$ mit dem grünen Punkt auf der $y$-Achse verändern. Zusätzlich zur $\epsilon$-Umgebung von $g$ ist im Applet ein $\epsilon$-Streifen um $g$ mit Hilfe von zwei Halbgeraden eingezeichnet. Mit diesem $\epsilon$-Streifen kann man anschaulich überprüfen, ob ein Folgenglied in der $\epsilon$-Umgebung von $g$ liegt: Ein Punkt zu einem Folgenglied liegt im $\epsilon$-Streifen zu $g$ genau dann, wenn das Folgenglied einen Abstand zu $g$ hat, der kleiner als $\epsilon$ ist.
Aufgabe 1
Überprüfe, welche Folgenglieder der Beispielfolge in der $\epsilon = 0.5$-Umgebung von $g = 2$ liegen. Überprüfe auch, welche Folgenglieder der Beispielfolge in der $\epsilon = 0.25$-Umgebung von $g = 2$ liegen.
Eine Restfolge betrachten
Wenn eine Folge $\left( a_n \right)$ den Grenzwert $g$ hat, dann müssen nicht alle Folgenglieder $a_n$ nahe am Grenzwert $g$ liegen. Es reicht, wenn das ab einer Mindestplatznummer $n_0$ der Fall ist. Man betrachtet also die Restfolge ab einer Platznummer $n_0$, die aus den Folgengliedern $a_{n_0}; a_{n_0 + 1}; ...$ besteht.
Im Applet kann man die Restfolge ab $n_0$ mit dem gelben Punkt auf der $x$-Achse einstellen.
Aufgabe 1
Bestimme $n_0$ so, dass die alle Folgenglieder der Restfolge ab $n_0$ in der $\epsilon = 0.5$-Umgebung von $g = 2$ liegen (bzw. der $\epsilon = 0.5$-Umgebung von $g = 2$ liegen).
