Erarbeitung

Zum Herunterladen: integralquadratfunktion.ggb

Einen Plan entwickeln

Aufgabe 1

Das Applet verdeutlicht mit der Schiebereglereinstellung [r], dass man die Produktsummen auf unterschiedliche Weise bilden kann. Erläutere und begründe:

• Die Einstellung [r = 0] für Produksummen mit den linken Teilintervallgrenze und die Einstellung [r = 1] für Produksummen mit den rechten teilintervallgrenze sind zum einen günstig, weil man direkt diese Teiluntervallgrenzen für die Bildung der Produktsummen verwenden kann.
• Die Einstellung [r = 0] für Produksummen mit den linken Teilintervallgrenze und die Einstellung [r = 1] für Produksummen mit den rechten teilintervallgrenze sind zum anderen günstig, weil man mit diesen Einstellungen das gesuchte Integral nach unten und oben abschätzen kann:
  • Mit der Schiereglereinstellung [r = 0] erhält man Treppenfunktionen $t_{n}$ mit $t_{n}(x) \le f(x)$ für $0 \le x \le b$. Die mit diesen Treppenfunktionen gebildeten Produktsummen $U_n$ liefern untere Grenzen für das gesuchte Integral, man nennt diese Produktsummen daher auch Untersummen.
  • Mit der Schiereglereinstellung [r = 1] erhält man Treppenfunktionen $t_{n}$ mit $t_{n}(x) \ge f(x)$ für $0 \le x \le b$. Die mit diesen Treppenfunktionen gebildeten Produktsummen $O_n$ liefern obere Grenzen für das gesuchte Integral, man nennt diese Produktsummen daher auch Obersummen.

Aufgabe 2

(a) Mache dir den folgenden Strategiewechsel klar.

	Produktsummen	Grenzwert
Applet	Berechnung mit Zahlen	experimentell
Herleitung	Beschreibung mit Formeln	analytisch

(b) Formuliere einen Plan zur Entwicklung einer Formel für das Integral $\int\limits_0^b x^2 dx$.

Zur Kontrolle

formale Darstellung	inhaltliche Beschreibung
$U_n = \dots$	Wir entwickeln eine Formel für die Untersumme $U_n$.
$\downarrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $U_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$\int\limits_a^b f(x) dx = \dots$	Wir erhalten eine Formel für das Integral.
$\uparrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $O_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$O_n = \dots$	Wir entwickeln eine Formel für die Obersumme $O_n$.

Formeln für Unter- und Obersummen entwickeln

Betrachte zunächst einen konkreten und dann den allgemeinen Fall.

Aufgabe 3

(a) Betrachte zunächst den konkreten Fall mit $b = 4$ und der Anzahl der Teilintervalle $n = 5$. Ergänze die fehlenden Werte zur Berechnung der Untersumme $U_5$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \, ;\, 0.8]$	$f(0) = 0^2 = 0$	$0.8$	$0 \cdot 0.8 = 0$
$[0.8 \, ;\, 1.6]$
$[1.6 \, ;\, 2.4]$
$[2.4 \, ;\, 3.2]$
$[3.2 \, ;\, 4.0]$

Ergebnis: $U_5 = \dots$

(b) Gehe analog zur Berechnung der Obersumm $O_5$ vor. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \, ;\, 0.8]$	$f(0.8) = 0.8^2 = 0.64$	$0.8$	$0.64 \cdot 0.8 = 0.512$
$[0.8 \, ;\, 1.6]$
$[1.6 \, ;\, 2.4]$
$[2.4 \, ;\, 3.2]$
$[3.2 \, ;\, 4.0]$

Ergebnis: $O_5 = \dots$

Aufgabe 4

Verallgemeinere die Ergebnisse aus Aufgabe 2. Betrachte hierzu eine beliebige Intervallgrenze $b > 0$ und eine beliebige Anzahl $n$ von Teilintervallen.

(a) Erkläre die Einträge in der Tabelle und das Ergebnis für die Untersumme $U_n$:

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(0 \cdot \frac{b}{n}) = (0 \cdot \frac{b}{n})^2 = 0^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$0^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 3 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(2 \cdot \frac{b}{n}) = (2 \cdot \frac{b}{n})^2 = 2^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$2^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$\dots $	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$	$f((n-1) \cdot \frac{b}{n}) = ((n-1) \cdot \frac{b}{n})^2 = (n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$(n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$

Ergebnis: $U_n = (0^2 + 1^2 + 2^2 \dots + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$

(b) Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$. Berechne außerdem das Ergebnis.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe*Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$\dots $	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $

Ergebnis: $O_n = \dots $

🔑 Lösung

$O_n = (1^2 + 2^2 + 3^2 \dots n^2) \cdot + (\frac{b}{n})^3$

Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen

In einer Formelsammlung findet man diese Formel für die Summe von Quadratzahlen:

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) }$

Die Kurzschreibweise $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{2} }$ steht für Summe aller Ausdrücke der Gestalt $i^2$, wobei $i$ die Zahlen von $1$ bis $n$ durchläuft.

Eine Erklärung für diese Formel findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.

Aufgabe 5

(a) Kontrolliere die Formel für $n = 3$. Bilde also die Summe $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} i^{2} = 1^2 + 2^2 + 3^2}$ und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis, das man durch Einsetzen von $n = 3$ in die Formel $\displaystyle{ \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) }$ erhält.

(b) Erkläre, wie man auf die folgende abgewandelte Formel für Summen von Quadratzahlen kommt.

$\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} i^{2} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) }$

Aufgabe 6

Wir verwenden jetzt die Summenformeln zur Bestimmung von Grenzwerten für die Unter- und Obersummen.

(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.

$\begin{array}{lll} U_n & = & (0^2 + 1^2 + 2^2 ... + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot \frac{b^3}{n^3} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 \end{array}$

(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.

$\begin{array}{lcccccccccc} U_n & = & \frac{1}{6} & \cdot & \frac{n-1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & \frac{2n-1}{n} & \cdot & b^3 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6} & & 1 & & 1 & & 2 & & b^3 \end{array}$

Ergebnis: $U_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.

(c) Zeige analog: $O_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.

Aufgabe 7

(a) Aus den vorangehenden Überlegungen erhalten wir für die Integrale der Quadratfunktion für das Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$ folgende Formel:

$\int\limits_0^b x^2 dx = \frac{1}{3} b^3$

Erläutere.

(b) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mithilfe des folgenden Applets.

Zur Kontrolle

Zum Herunterladen: unterobersumme.ggb

Das Vorgehen reflektieren

Aufgabe 8

Gehe nochmal den Plan zur Herleitung des gesuchten Integrals durch. Erläutere die wichtigsten Schritte.

Herleitung des Integrals

formale Darstellung	inhaltliche Beschreibung
$U_n = (0^2 + 1^2 + 2^2 \dots + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 = \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 $	Wir entwickeln eine Formel für die Untersumme $U_n$.
$\downarrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $U_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$\int\limits_a^b f(x) dx = \frac{1}{3} b^3$	Wir erhalten eine Formel für das Integral.
$\uparrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $O_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$O_n = (1^2 + 2^2 + 3^2 \dots + n^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 = \frac{1}{6}\cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \cdot b^3 $	Wir entwickeln eine Formel für die Obersumme $O_n$.