Strukturierung – Integrierbarkeit
Zur Orientierung
Die Analyse von Beispielen in der Erkundung zeigt, dass die Berechnung von Grenzwerten von Produktsummen nicht unproblematisch ist. Die Ergebnisse hängen bei manchen Funktionen davon ab, wie man die Produktsummen bildet. In diesem Abschnitt entwickeln wir ein Kriterium, das sinnvolle Inegrale garantiert.
Integralberechnung mit Mittensummen
Bestimmung von Mittensummen
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$, das ganz in der Definitionsmenge von $f$ liegt.
- Wir zerlegen das vorgegebene Intervall in $n$ Teilintervalle. Wir betrachten dabei nur Zerlegungen mit gleich breiten Teilintervallen. Für die Intervallbreite erhält man dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Wir approximieren die vorgegebene Funktion mit einer Treppenfunktion. Als Treppenhöhe benutzen wir in den Teilintervallen jeweils die Funktionswerte in den Intervallmitten.
- Mit diesen Treppenfunktionen bilden wir die Produktsumme. Da wir dabei die Funktionswerte in den Intervallmitten benutzen, nennen wir diese Produktsummen auch Mittensummen und bezeichnen sie mit $M_n$.
Aufgabe 1
Verdeutliche die folgende Bewertung des Mittensummenverfahrens mit den Beispielen aus dem Erkundungskapitel.
Bewertung des Mittensummen
Zur Bewertung dieses Verfahrens betrachten wir die Tauglichkeit in der Praxis und für die Theoriebildung.
- Das oben beschriebene Mittensummenverfahren ist ein Verfahren für die Praxis: Es legt genau fest, wie die Produktsummen Schritt für Schritt gebildet werden (gleich breite Teilintervalle; Funktionswerte in den Teilintervallmitten).
-
Das Mittensummenverfahren liefert bei
einfachen
Funktionen (wie der Quadratfunktion) sinnvolle Ergebnisse. -
Bei
exotischeren
Funktionen (wie der Dirichlet-Funktion) ergeben sich aber Schwierigkeiten: Die (mit gleich breiten Teilintervallen und den Funktionswerten in den Teilintervallmitten) gebildeten Produktsummen berücksichtigen nur eine Teilmenge aller möglichen Funktionswerte im betrachteten Gesamtintervall. Das führt dann zur Ergebnissen, die als nicht sinnvoll erachtet werden. Das Mittensummenverfahren eignet sich daher nicht für die Theoriebildung.
Integralberechnung mit Unter-/Obersummen
Bestimmung von Unter- und Oberssummen
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$, das ganz in der Definitionsmenge von $f$ liegt.
- Wir zerlegen das vorgegebene Intervall in $n$ Teilintervalle. Wir betrachten dabei nur Zerlegungen mit gleich breiten Teilintervallen. Für die Intervallbreite erhält man dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Wir approximieren die vorgegebene Funktion mit einer unteren Treppenfunktion und einer oberen Treppenfunktion. Bei der unteren Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach unten optimal begrenzen. Bei der oberen Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach oben optimal begrenzen. Die Ausgangsfunktion wird so von unten und oben approximiert.
- Mit diesen Treppenfunktionen bilden wir Produktsumme. Die Produktsumme zur unteren Treppenfunktion nennt man Untersumme, die zur oberen Treppenfunktion Obersumme. Die Untersumme für $n$ Teilintervalle bezeichnen wir mit $U_n$, die Obersumme entsprechend mit $O_n$.
Aufgabe 2
Verdeutliche die folgende Bewertung des Unter-/Obersummenverfahrens mit den Beispielen aus dem Erkundungskapitel.
Bewertung des Unter-/Obersummenverfahrens
Zur Bewertung dieses Verfahrens betrachten wir die Tauglichkeit in der Praxis und für die Theoriebildung.
-
Beim Unter-/Obersummenverfahren benutzt man zur Produktsummenbildung in jedem Teilintervall
untere und obere Grenzen für die Gesamtheit aller Funktionswerte in diesem Teilintervall.
Mit diesen unteren und oberen Grenzen werden alle Funktionswerte in den Teilintervallen berücksichtigt.
Die Unter- und Obersummen liefern somit untere und obere Grenzen für alle möglichen Produktsummen
(mit Produkten der Gestalt
Funktionswert mal Schrittweite
). -
Bei
einfachen
Funktionen (wie der Quadratfunktion) stabilisieren sich Unter- und Obersummen bei wachsender Anzahl von Teilintervallen bei einem gemeinsamen Grenzwert. Das Unter-/Obersummenverfahren ist für solche Funktionen nur dann praxistauglich, wenn man untere und obere Grenzen für die Gesamtheit aller Funktionswerte in den Teilintervallen leicht bestimmen kann. -
Bei
exotischeren
Funktionen (wie der Dirichlet-Funktion) kann sich auch eine Schwierigkeit ergeben: Unter- und Obersummen stabilisieren sich evtl. bei unterschiedlichen Grenzwerten. Das deutet auf ein grundlegendes Problem bei der Integralberechnung mit Produktsummen hin. Die Funktionswerte liegen so, dass man bei der Produktsummenbildung keine eindeutigen Ergebnisse erwarten kann. Wir nutzen diese Beobachtung, um den Integralbegriff zu präzisieren.
Präzisierung des Integralbegriffs
In der bisherigen Definition haben wir offen gelassen, wie man die Produktsummen bildet. Ausgehend von den Erläuterungen oben ergänzen wir jetzt eine Bedingung, die erfüllt sein muss, um zu sinnvollen Integralwerten zu gelangen.
Integral
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a;b]$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn die zur Funktion und zum Intervall gebildeten Untersummen $U_n$ und Obersummen $O_n$ sich für $n \rightarrow \infty$ beim selben Grenzwert stabilisieren, dann ist die Funktion im Intervall $[a;b]$ integrierbar. Der gemeinsame Grenzwert der Unter- und Obersummen wird dann Integral zur Funktion $f$ von $a$ bis $b$ genannt. Für diesen Grenzwert nutzt man folgende Schreibweise:
$\int\limits_a^b f(x) dx$
Aufgabe 3
Begründe: Wenn eine Funktion in einem Intervall integrierbar ist, dann kann man das Integral mit dem Mittensummenverfahren bestimmen.
