Berechnung von Produktsummen
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel wurde das Integral als Grenzwert von Produktsummen festgelegt. Dabei wurde bereits die Schwierigkeit thematisiert, dass man die Produktsummen auf unterschiedliche Weisen bilden kann. In diesem Kapitel geht es darum, Auswirkungen dieser Spielräume zu untersuchen. Wir beginnen hier mit zwei möglichen Verfahren zur Bildung der Produktsummen.
Mittensummen
Bestimmung von Mittensummen
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$, das ganz in der Definitionsmenge von $f$ liegt.
- Wir zerlegen das vorgegebene Intervall in $n$ Teilintervalle. Wir betrachten dabei nur Zerlegungen mit gleich breiten Teilintervallen. Für die Intervallbreite erhält man dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Wir approximieren die vorgegebene Funktion mit einer Treppenfunktion. Als Treppenhöhe benutzen wir in den Teilintervallen jeweils die Funktionswerte in den Intervallmitten.
- Mit diesen Treppenfunktionen bilden wir die Produktsumme. Da wir dabei die Funktionswerte in den Intervallmitten benutzen, nennen wir diese Produktsummen auch Mittensummen und bezeichnen sie mit $M_n$.
Aufgabe 1
Verdeutliche das Vorgehen zur Bildung von Mittensummen im folgenden Applet. Betrachtet wird hier die Quadratfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ im Intervall $[0;1]$.
Zum Herunterladen: integralmittensummen1.ggb
Unter- und Obersummen
Bestimmung von Unter- und Oberssummen
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$, das ganz in der Definitionsmenge von $f$ liegt.
- Wir zerlegen das vorgegebene Intervall in $n$ Teilintervalle. Wir betrachten dabei nur Zerlegungen mit gleich breiten Teilintervallen. Für die Intervallbreite erhält man dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Wir approximieren die vorgegebene Funktion mit einer unteren Treppenfunktion und einer oberen Treppenfunktion. Bei der unteren Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach unten optimal begrenzen. Bei der oberen Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach oben optimal begrenzen. Die Ausgangsfunktion wird so von unten und oben approximiert.
- Mit diesen Treppenfunktionen bilden wir Produktsumme. Die Produktsumme zur unteren Treppenfunktion nennt man Untersumme, die zur oberen Treppenfunktion Obersumme. Die Untersumme für $n$ Teilintervalle bezeichnen wir mit $U_n$, die Obersumme entsprechend mit $O_n$.
Aufgabe 2
(a) Verdeutliche das Vorgehen zur Bildung von Unter- und Obersummen im folgenden Applet. Betrachtet wird hier die Quadratfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ im Intervall $[0;1]$.
(b) Bei der Beispielfunktion im Applet wird zur Bildung der Untersumme (bzw. Obersumme) immer die linke (bzw. rechte) Intervallgrenze zur Bestimmung der Treppenhöhe benutzt. Ist das bei allen Funktionen so einfach? Erläutere.
Zum Herunterladen: integraloberuntersummen1.ggb
Vergleich der Verfahren
Aufgabe 3
Vergleiche die beiden Verfahren zur Integralberechnung mit Produktsummen bei der betrachteten Quadratfunktion. Kläre dabei folgende Fragen:
- Welches Verfahren zur Produksummenberechnung liefert das
korrekte
Ergebnis? - Welche Vorteile haben die jeweiligen Verfahren?
Zielsetzung
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitten geht es darum, die Verfahren Produktsummenbildung allgemeiner zu untersuchen.
