Analyse des Unter-/Obersummenverfahrens
Zielsetzung
Wir untersuchen hier genauer, inwieweit sich das Unter-/Obersummenverfahren für die Produktsummenbildung bei der Integralberechnung eignet.
Bestimmung von Unter- und Oberssummen
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$, das ganz in der Definitionsmenge von $f$ liegt.
- Wir zerlegen das vorgegebene Intervall in $n$ Teilintervalle. Wir betrachten dabei nur Zerlegungen mit gleich breiten Teilintervallen. Für die Intervallbreite erhält man dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Wir approximieren die vorgegebene Funktion mit einer unteren Treppenfunktion und einer oberen Treppenfunktion. Bei der unteren Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach unten optimal begrenzen. Bei der oberen Treppenfunktion wählt man die Treppenhöhen so, dass sie die Funktionswerte in den jeweiligen Teilintervallen nach oben optimal begrenzen. Die Ausgangsfunktion wird so von unten und oben approximiert.
- Mit diesen Treppenfunktionen bilden wir Produktsumme. Die Produktsumme zur unteren Treppenfunktion nennt man Untersumme, die zur oberen Treppenfunktion Obersumme. Die Untersumme für $n$ Teilintervalle bezeichnen wir mit $U_n$, die Obersumme entsprechend mit $O_n$.
Beispiel 1
Eine Ausreißerfunktion
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textrm{ falls } & x = 0.5 \\ 0 & \textrm{ falls } & x \neq 0.5 \end{array} \right. $
Aufgabe 1
Das Applet zeigt den Graph der Funktion $f$. Erkläre, was die beiden Punkte hier verdeutlichen sollen.
Zum Herunterladen: beispiel1.ggb
Aufgabe 2
(a) Betrachte das Intervall $[0;1]$. Bestimme mit dem Applet weiter unten die Untersumme $U_n$ und die Obersumme $O_n$ für einige $n$-Werte und erkäre, wie sie zustande kommen.
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\dots$ |
| $U_n$ | $0$ | $\dots$ | ||||
| $O_n$ | $1$ | $\dots$ |
(b) Bestimme und begründe den Grenzwert der Untersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{U_n}$ sowie den Grenzwert der Obersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{O_n}$.
Zum Herunterladen: integraloberuntersummenbeispiel1.ggb
Beispiel 2
Dirichlet-Funktion
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textrm{ falls } & x \textrm{ eine rationale Zahl ist } \\ 0 & \textrm{ falls } & x \textrm{ eine irrationale Zahl ist } \end{array} \right. $
Aufgabe 3
(a) Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die man mit einem Bruch beschreiben kann, eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die man nicht mit einem Bruch beschreiben kann. Welche der folgenden Zahlen sind (ir)rational?
$1$; $-4$; $2.25$; $\frac{3}{7}$; $\pi$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1.4$; $(((1-0)/2-0)/2-0)/2$
(b) Mache dir folgende Eigenschaften der rationalen und irrationalen Zahlen klar:
- Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, d.h. zwischen zwei beliebigen rationale Zahlen kann man immer eine weitere rationale Zahl finden.
- Die irrationalen Zahlen liegen ebenfalls dicht auf der Zahlengerade, d.h. zwischen zwei beliebigen irrationale Zahlen kann man immer eine weitere irationale Zahl finden.
- Obwohl die Menge der rationalen Zahlen dicht ist, bleiben doch Lücken auf der Zahlengerade bestehen. Erst zusammen mit den irrationalen Zahlen decken sie den Zahlenstrahl komplett ab.
(c)
Das Applet zeigt den Graph der Funktion $f$. Beachte, dass der Graph aus zwei Ästen
besteht: ein Teilast liegt auf der $x$-Achse, ein weiterer Teilast auf
der Parallele zur $x$-Achse.
Es sieht im Applet so aus, als würden hier zwei Funktionsgraphen angezeigt. Tatsächlich soll die Darstellung aber nur einen Graph zeigen.
Erkläre mit den Eigenschaften der rationalen und irrationalen Zahlen, wie der Graph zu verstehen ist.
Zum Herunterladen: beispiel2.ggb
Aufgabe 4
Betrachte die oben beschriebene Funktion $f$ im Intervall $[0;1]$.
(a) Bestimme mit dem Applet weiter unten die Untersumme $U_n$ und die Obersumme $O_n$ für einige $n$-Werte und erkäre, wie sie zustande kommen.
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\dots$ |
| $U_n$ | $0$ | $\dots$ | ||||
| $O_n$ | $1$ | $\dots$ |
(b) Bestimme und begründe den Grenzwert der Untersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{U_n}$ sowie den Grenzwert der Obersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{O_n}$.
Zum Herunterladen: integraloberuntersummenbeispiel2a.ggb
(c) Das betrachtete Intervall wird abgeändert. Betrachte die oben beschriebene Funktion $f$ im Intervall $[\underbrace{\sqrt{2}-1.4}_{\approx 0.01};\underbrace{\sqrt{2}-0.4}_{\approx 1.01}]$.
Bestimme und begründe den Grenzwert der Untersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{U_n}$ sowie den Grenzwert der Obersummen $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{O_n}$.
Zum Herunterladen: integraloberuntersummenbeispiel2b.ggb
Aufgabe 5
Beurteile, inwieweit eine Integralberechnung mit Unter-/Obersummen (bei der Ausreißer-Funktion bzw. bei der Dirichlet-Funktion) sinnvoll ist.
