Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten die im Applet vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x$ sowie ein Intervall $[0; b]$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$. Ziel ist es, eine Formel für das Integral $\int\limits_0^b x \; dx$ herzuleiten. Gehe dabei selbstständiger vor.
Zum Herunterladen: integralquadratfunktion.ggb
Grenzwerte von Unter- und Obersummen bilden
Gehe genauso wie im letzten Abschnitt vor.
Aufgabe 1
Betrachte eine beliebige Intervallgrenze $b > 0$ und eine beliebige Anzahl $n$ von Teilintervallen.
(a) Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle und das Ergebnis für die Untersumme $U_n$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe mal Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(0 \cdot \frac{b}{n}) = 0 \cdot \frac{b}{n}$ | $\frac{b}{n}$ | $0 \cdot (\frac{b}{n})^2$ |
| $[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
Ergebnis: $U_n = \dots$
(b) Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$. Berechne außerdem das Ergebnis.
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = 1 \cdot \frac{b}{n}$ | $\frac{b}{n}$ | $1 \cdot (\frac{b}{n})^2$ |
| $[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
Ergebnis: $O_n = \dots $
Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen
In einer Formelsammlung findet man diese Formel für die Summe natürlicher Zahlen:
$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}\cdot n \cdot (n+1) }$
Eine Erklärung für diese Formel findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.
Aufgabe 2
Erkläre, wie man auf die folgende abgewandelte Formel für Summen natürlicher Zahlen kommt.
$\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} i = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) = \frac{1}{2}\cdot (n-1) \cdot n }$
Aufgabe 3
Leite mit den Summenformeln die Grenzwerte für die Unter- und Obersummen her:
(a)
Für $n \rightarrow \infty$ gilt $U_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$.
(b)
Für $n \rightarrow \infty$ gilt $O_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$.
Aufgabe 4
Mit den Ergebnissen aus Aufgabe 3 erhält man:
$\int\limits_0^b x \; dx = \frac{1}{2} b^2$
(a) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mithilfe einer elementargeometrischen Flächenberechnung.
(b) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mithilfe des folgenden Applets.
