(a) $z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{55 - 50}{5} = 1$

(b) Umstellen von $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ nach $x$ ergibt $x = \mu + \sigma \cdot z$. Für $z = -2$ erhält man $x = 50 + 5 \cdot (-2) = 40$.

(c) Der standardisierte Wert $z = 2.5$ bedeutet, dass der Ausgangswert $x$ eine Entfernung von $2.5\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ hat.

(a)

Für die Zufallsgröße $X$ erhält man den Erwartungswert $\mu = 12.8$ und die Standardabweichung $\sigma = 3.2$.

Die absolute Entfernung des Werts $x = 15$ vom Erwartungswert $\mu$ der Zufallsgröße $X$ beträgt $d = x - \mu = 15 - 12.8 = 2.2$.

Die relative Entfernung in Standardabweichungen des Werts $x = 15$ vom Erwartungswert $\mu$ der Zufallsgröße $X$ beträgt $z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{15 - 12.8}{3.2} = 0.6875$. Es gilt also $x = \mu + 0.6875\sigma$.

(b)

• A: Für das Ergebnis $x$ erhält man den standardisierten Wert $z = \frac{12}{4} = 3$. Das Ergebnis $x$ liegt also $3\sigma$ über dem Erwartungswert $\mu$.
• B: Für das Ergebnis $x$ erhält man den standardisierten Wert $z = \frac{15}{10} = 1.5$. Das Ergebnis $x$ liegt also $1.5\sigma$ über dem Erwartungswert $\mu$.

Die Abweichung ist im Fall A relativ zur Streuung stärker.

(c) Die Aussage „10 Einheiten über dem Erwartungswert“ berücksichtigt nicht, wie stark die Zufallsgröße normalerweise streut. Erst die Aussage „zwei Standardabweichungen über dem Erwartungswert“ ordnet den Abstand in Relation zur Streuung ein.

Für die beiden Zufallsexperimente erhält man folgende Ergebnisse:

• A: Bei dem Zufallsexperiment handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit $n = 100$ und $p = \frac{1}{6}$. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Treffer, wobei eine $6$ hier als Treffer gewertet wird. Die Zufallsgröße $X$ ist also binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p = \frac{1}{6}$. Für die Zufallsgröße $X$ erhält man den Erwartungswert $\mu = 100 \cdot \frac{1}{6} \approx 16.67$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 3.73$. Für das Ergebnis $x = 20$ erhält man den standardisierten Wert $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \approx 0.89$. Das Ergebnis $x = 20$ liegt also ca. $0.89$ Standardabweichungen über dem Erwartungswert $\mu$.
• B: Bei dem Zufallsexperiment handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit $n = 500$ und $p = \frac{1}{2}$. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Treffer, wobei Zahl oben hier als Treffer gewertet wird. Die Zufallsgröße $X$ ist also binomialverteilt mit den Parametern $n = 500$ und $p = \frac{1}{2}$. Für die Zufallsgröße $X$ erhält man den Erwartungswert $\mu = 500 \cdot \frac{1}{2} \approx 250$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{500 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \approx 11.18$. Für das Ergebnis $x = 262$ erhält man den standardisierten Wert $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \approx 1.07$. Das Ergebnis $x = 262$ liegt also ca. $1.07$ Standardabweichungen über dem Erwartungswert $\mu$.

Bei der Durchführung von B liegt das Ergebnis somit (relativ zur Streuung) weiter vom Erwartungswert entfernt.

(a)

Im Applet erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten:

• Zufallsexperiment A: Bei dem Zufallsexperiment handet es sich um eine Bernoulli-Kette mit $n = 20$ und $p = 0.25$. Mit der Zufallsgröße $X$ wird die Anzahl der Treffer (es fällt die 1) beschrieben. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X = 6)$. Im Applet erhält man mit den passenden Einstellungen $P(X = 6) \approx 0.1686$.
• Zufallsexperiment B: Bei dem Zufallsexperiment handet es sich um eine Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.25$. Mit der Zufallsgröße $X$ wird die Anzahl der Treffer (es fällt die 1) beschrieben. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X = 51)$. Im Applet erhält man mit den passenden Einstellungen $P(X = 51) \approx 0.0638$.

(b)

Mit dem standardisierten Wert $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ erhält man $P(X = x) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi(z)$.

(c)

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kann man so abschätzen:

• Zufallsexperiment A: Die Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu = 5$ und die Standardabweichung $\sigma \approx 1.9365$. Für den Wert $x = 6$ erhält man den standardisierten Wert $z = 0.5164$. Mit $\varphi(z) \approx 0.3491$ erhält man $P(X = 6) \approx 0.1803$.
• Zufallsexperiment B: Die Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu = 50$ und die Standardabweichung $\sigma \approx 6.1237$. Für den Wert $x = 51$ erhält man den standardisierten Wert $z = 0.1633$. Mit $\varphi(z) \approx 0.3937$ erhält man $P(X = 51) \approx 0.0643$.

Die Abschätzung für das ZE A ist mit einem Fehler von $\frac{0.0117}{0.1686} \approx 7\%$ recht schlecht. Beachte, dass die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ hier nicht erfüllt ist. Man kann also nicht mit einer akzeptablen Abschätzung rechnen.

Beim ZE B ist die Laplace-Bedingung dagegen deutlich erfüllt. Die Abschätzung ist mit einem Fehler von $\frac{0.0005}{0.0638} \approx 0.8\%$ sehr gut.

(a) Bei der Standardisierung werden Werte so verschoben:

• Der Wert $x = \mu$ wandert an die Stelle $z = 0$.
• Der Wert $x = \mu + \sigma$ wandert an die Stelle $z = 1$.
• Der Wert $x = \mu - \sigma$ wandert an die Stelle $z = -1$.
• Der Wert $x = \mu + 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = 2$.
• Der Wert $x = \mu - 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = -2$.
• ...

Das Werte-Intervall $\mu-1\cdot\sigma\leq x \leq\mu+1\cdot\sigma$ wird daher auf das Intervall $-1 \le z \le 1$ verschoben.

Wenn man eine Standardisierung des Histogramms zu einer Binomialverteilung vornimmt, dann wandern die Balken zur Wahrscheinlichkeit $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$ an Stellen von $z_1 = -1$ bis $z_2 = 1$. Diese transformierten Balken haben denselben Flächeninhalt wie die Ausgangsbalken. Der Flächeninhalt der transformierten Balken entspricht somit ebenfalls der Wahrscheinlichkeit $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. Diesen Flächeninhalt kann man grob mit dem Integral $\int\limits_{-1}^{1} \varphi(t) \; dt$ abschätzen.

(b) Mit dem Integralrechner erhält man $\int\limits_{-1}^{1} \varphi(t) \; dt \approx 0.68$.

Mit den Schiebereglern verschiebt und skaliert man das Histogramm so, dass es möglichst gut zur Glockenkurve passt. Man erhält so experimentell $\mu \approx 56$ und $p \approx 3.35$.

Durch Umformen erhält man aus den Formeln $\mu = n \cdot p$ und $\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)$ die neue Formel $1 - p = \frac{\sigma^2}{\mu}$ bzw. $p = 1 - \frac{\sigma^2}{\mu}$.

Mit den experimentell ermittelten Werten $\mu \approx 56$ und $p \approx 3.35$ erhält man so $p \approx 0.8$.

Mit $\mu = n \cdot p$ erhält man dann $n \approx 70$.

Das Histogramm gehört wohl zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 70$ und $p = 0.8$.