Erarbeitung - Hinreichende Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte

Zur Orientierung

Kritische Stellen erkunden

Im letzte Abschnitt hast du gesehen, dass man mit der Information $f'(x) = 0$ noch nicht erschließen kann, dass an der Stelle $x$ ein Hoch- oder Tiefpunkt auf Graph $f$ vorliegt. Das lässt sich gut anhand des folgenden Applets verdeutlichen.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung1.ggb

Aufgabe 1

Bewege $x$ mit dem Schieberegler hin und her und kläre folgende Fragen: Wie viele kritische Stellen hat die betrachtete Funktion? Warum kann man nicht sagen, wie viele Extrempunkte die Funktion hat.

Zusatzinformation an kritischen Stellen berücksichtigen

Im folgenden Applet wird Graph $f'$ jeweils in einer kleine Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ angezeigt.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung2.ggb

Aufgabe 2

Begründe, dass in der im Applet voreingestellten Situation Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Benutze dabei folgende Argumente: Wenn Graph $f'$ im positiven (bzw. negativen) Bereich verläuft, dann ....

Überzeuge dich davon, indem du mit dem Schieberegler $u_0$ eine kleine Umgebung von Punkt $P$ aufdeckst.

Aufgabe 3

Untersuche entsprechend weitere mit dem Schieberegler einstellbare Stellen $x$ und kläre dabei folgende Fragen: Wie kann man mit Hilfe einer kleinen Umgebung erkennen, ob an einer kritischen Stelle ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Ergänze in der Tabelle passende Bedingungen an $f'$, so dass die jeweiligen Folgerungsaussagen korrekt sind.

Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Hinweise zur Formulierung der Bedingungen

• $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)
• $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)
• $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.)

Aufgabe 4

Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ..."). Erläutere, warum man die Wenn-Teilaussage als hinreichende Bedingung zur Dann-Teilaussage bezeichnet.

Ergebnisse sichern

Fülle die zweite Box des Wissensspeichers aus.

Das Vorzeichenwechselkriterium haben wir anschaulich und ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Zur Begründung haben wir das Argument benutzt, dass das Steigen und Fallen eines Funktionsgraphen eng mit dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion verknüpft ist. Diesen Zusammenhang wird hier als offensichtlich vorausgesetzt. Im folgenden Abschnitt wird dieser Zusammenhang genauer untersucht.