Kubische Funktionen

Aufgabe 1

Kubische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 3. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a, b, c, d$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a \neq 0$ außer Acht lassen musst.

Zum Herunterladen: wendepunkte_kubische_funktionen.ggb

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a, b, c, d$ mit $a \neq 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Wendepunkt. Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a = 1$, $b = -3$, $c = -1$ und $d = 3.5$ den Wendepunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ vom Grad $3$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$) an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Betrachte jetzt die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$). Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede dieser Funktionen einen Wendepunkt an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ hat.