Erarbeitung - Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte

Zur Orientierung

Einen Zusammenhang präzisieren

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen.

Situation 1	Situation 2	Situation 3	Situation 4
$f$ hat ...	...	...	...
$f'$ hat ...	...	...	...

Aufgabe 1

Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.

• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
• $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aufgabe 2

Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.

Aussage 1: Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aussage 2: Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Einen Zusammenhang präzise formulieren

Den Zusammenhang zwischen Extrempunkten von Graph $f$ und Nullstellen von Graph $f'$ muss man präzise formuliere. Wir verwenden hierzu ein in der Mathematik gängiges Formulierungsmuster – die Wenn-Dann-Aussage.

Aufgabe 3

(a) Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...").

Eigenschaft von $f$	hieraus folgt	Eigenschaft von $f'$ (notwendige Bedingung)
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	$\Rightarrow$	$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.	$\Rightarrow$	$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.	$\Rightarrow$	$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.

(b) Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man $x$ eine kritische Stelle. Erkläre, was man damit meint.

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Beachte, dass wir die notwendige Bedingung für Extrempunkte anschaulich und ausgehend von Beispielen erschlossen haben. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweise.