Erarbeitung

Zur Orientierung

In der Mathematik werden Begriffe immer präzise definiert. Das hat den Vorteil, dass es – anders als im Alltag – keine Unstimmigkeiten durch unterschiedliche Begriffsdeutungen gibt.

Den Nullstellenbegriff präzisieren

Wir betrachten zuerst den Begriff Nullstelle. Inhaltlich kann man die Bedeutung dieses Begriffs so umschreiben:

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die $x$-Achse schneidet.

Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb

In einer Begriffsdefinition wird die Bedeutung eines Begriff präzise mit einer definierenden Eigenschaft festgelegt. Die folgende Begriffsdefinition hebt den zu definierenden Begriff hervor. Die definierende Eigenschaft ... fehlt hier noch.

Aufgabe 1

Welche der folgenden Vorschläge eignet sich (nicht) als definierende Eigenschaft für den Begriff Nullstelle? Begründe jeweils.

• ... wenn $x$ der Funktionswert von $f$ an der Stelle $0$ ist.
• ... wenn $x$ ein Punkt von Graph $f$ ist, der auf der $x$-Achse liegt.
• ... wenn $x$ eine Zahl ist, bei dem die Funktion $f$ den Wert $0$ annimmt.
• ... wenn die Bedingung $f(x)=0$ erfüllt ist.

Begriffe zur Beschreibung von Extremwerten präzisieren

Das folgende Applet unterstützt die Überlegungen zur Begriffsfestlegung.

Anleitung für das Applet

• Im Applet ist der Graph einer Funktion $f$ dargestellt. Man kann zunächst aber nur einzelne Punkte des Graphen anzeigen, indem man den Schieberegler für die Stelle $x$ hin und her bewegt.
• Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man den Graph in einer Umgebung der gewählten Stelle sichtbar machen. Wenn z.B. für $x=1$ die Umgebungsbreite auf $u_0=0.2$ eingestellt ist, dann sieht man den Graph im Intervall $0.8\text{ < }x\text{ < }1.2$.
• Beachte: Jeder Strich auf der $x$-Achse und der $y$-Achse markiert $1$ Einheit.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_definition.ggb

Aufgabe 2

Stelle die Umgebungsbreite $u_0=0.2$ ein. Ermittle, an welchen Stellen $x$ die vorgegebene Funktion $f$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum hat. Betrachte dabei nur die Stellen, die man mit dem Schieberegler für $x$ einstellen kann.

Aufgabe 3

Verdeutliche mit Hilfe des Applets folgende Begriffsdefinition.

Aufgabe 4

Ergänze die Begriffsdefinition.

Aufgabe5

Erstelle selbstständig Begriffdefinitionen für die Begriffe Hochpunkt und Tiefpunkt. Hier kannst du bereits definierten Begriffe verwenden.