Erarbeitung
Zur Orientierung
In der Mathematik werden Begriffe immer präzise definiert. Das hat den Vorteil, dass es – anders als im Alltag – keine Unstimmigkeiten durch unterschiedliche Begriffsdeutungen gibt.
Zielsetzung
Ziel in diesem Abschnitt ist es, Begriffe, die im letzten Absatz informell geklärt wurden, hier präzise zu definieren.
Den Nullstellenbegriff präzisieren
Wir betrachten zuerst den Begriff Nullstelle
. Inhaltlich kann man die Bedeutung dieses Begriffs so umschreiben:
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die $x$-Achse schneidet.
Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb
In einer Begriffsdefinition wird die Bedeutung eines Begriff präzise mit einer definierenden Eigenschaft festgelegt. Die folgende Begriffsdefinition hebt den zu definierenden Begriff hervor. Die definierende Eigenschaft ... fehlt hier noch.
Nullstelle einer Funktion
Eine Zahl $x$ aus der Definitionsmenge der Funktion $f$ ist eine Nullstelle von $f$ genau dann, wenn ...
Aufgabe 1
Welche der folgenden Vorschläge eignet sich (nicht) als definierende Eigenschaft für den Begriff Nullstelle
? Begründe jeweils.
- ... wenn $x$ der Funktionswert von $f$ an der Stelle $0$ ist.
- ... wenn $x$ ein Punkt von Graph $f$ ist, der auf der $x$-Achse liegt.
- ... wenn $x$ eine Zahl ist, bei dem die Funktion $f$ den Wert $0$ annimmt.
- ... wenn die Bedingung $f(x) = 0$ erfüllt ist.
Begriffe zur Beschreibung von Extremwerten präzisieren
Das folgende Applet unterstützt die Überlegungen zur Begriffsfestlegung.
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph einer Funktion $f$ dargestellt. Man kann zunächst aber nur einzelne Punkte des Graphen anzeigen, indem man den Schieberegler für die Stelle $x$ hin und her bewegt.
- Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man den Graph in einer Umgebung der gewählten Stelle sichtbar machen. Wenn z.B. für $x = 1$ die Umgebungsbreite auf $u_0 = 0.2$ eingestellt ist, dann sieht man den Graph im Intervall $0.8 \text{ < } x \text{ < } 1.2$.
- Beachte: Jeder Strich auf der $x$-Achse und der $y$-Achse markiert $1$ Einheit.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_definition.ggb
Aufgabe 2
Stelle die Umgebungsbreite $u_0 = 0.2$ ein. Ermittle, an welchen Stellen $x$ die vorgegebene Funktion $f$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum hat. Betrachte dabei nur die Stellen, die man mit dem Schieberegler für $x$ einstellen kann.
Aufgabe 3
Verdeutliche mit Hilfe des Applets folgende Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Maximum,
wenn es ein Intervall $I$ gibt (als Umgebung
von $x$), so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \geq f(z)$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Minimum,
wenn es ein Intervall $I$ gibt (als Umgebung
von $x$), so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \leq f(z)$.
Lokale Maxima und lokale Minima werden auch lokale Extrema genannt.
Aufgabe 4
Ergänze die Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Maximumstelle ist eine Stelle, an der ein ... vorliegt.
Eine Minimumstelle ist eine Stelle, an der ...
Eine Extremstelle ist eine Stelle, an der ...
Aufgabe5
Erstelle selbstständig Begriffdefinitionen für die Begriffe Hochpunkt
und Tiefpunkt
.
Hier kannst du bereits definierten Begriffe verwenden.
