Quadratische Funktionen

Aufgabe 1

Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 2. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x) = ax^2 +bx + c$ mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a, b, c$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a \neq 0$ außer Acht lassen musst.

Zum Herunterladen: extrempunkte_quadratische_funktionen.ggb

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a, b, c$ mit $a \neq 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt). Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a = 2$, $b = -2$ und $c = -1$ den Extrempunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Extrempunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^2 +bx + c$ vom Grad $2$ (mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$) an der Stelle $x = -\frac{b}{2a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Jetzt wollen wir die Aussage aus (b) auch beweisen: Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede Funktion $f(x) = ax^2 +bx + c$ (mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$) einen Extrempunkt an der Stelle $x = -\frac{b}{2a}$ hat.