Eine Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte

Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion berücksichtigen

Ob eine Nullstellen von $f'$ tatsächlich einen Hoch- oder Tiefpunkte markiert, lässt sich mit der Ableitungsfunktion entscheiden.

Anleitung für das Applet

• Im unteren Fenster kann man mit Hilfe der Schieberegler den Verlauf der Ableitungsfunktion $f'$ in der Umgebung einer Nullstelle variieren.
• Im oberen Fenster wird passend zur eingestellten Ableitungsfunktion der Graph der Ausgangsfunktion angezeigt.
• Mit dem Schieberegler $c$ kann man den Graph der Ausgangsfunktion nach oben und unten verschieben. Hiermit soll angedeutet werden, dass man die Ausgangsfunktion aus der Ableitungsfunktion nur bis auf eine additive Konstante rekonstruieren kann.

Zum Herunterladen: vzwkriterium.ggb

Experimente mit dem Applet verdeutlichen die folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhänge:

Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Dieser Zusammenhang liefert das Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte.

Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$

Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Schritt 2: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion untersuchen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f'$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$	$f'(-4) = 48$ $f'(x) > 0$
$x = -2$	$f'(-2) = 0$	$+/-$ VZW	Hochpunkt
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$	$f'(-1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$
$x = 0$	$f'(0) = 0$	kein VZW	Sattelpunkt
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$	$f'(1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$
$x = 2$	$f'(2) = 0$	$-/+$ VZW	Tiefpunkt
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$	$f'(4) = 48$ $f'(x) > 0$

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(-2) = \frac{47}{30} \approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.

$f(0) = 0.5$: Der Sattelpunkt hat somit die Koordinaten $(0|0.5)$.

$f(2) = -\frac{17}{30} \approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.