Vertiefung - Hinreichende Bedingungen für das Krümmungsverhalten

Zur Orientierung

Krümmung untersuchen

Nutze das Applet, um Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion $f$ und den Ableitungsfunktionen $f^{\prime }$ und $f^{″}$ herzustellen. Der Fokus liegt hier auf den Krümmungseigenschaften von Graph $f$.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Im mittleren Fenster ist die zugehörige 1. Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ und im unteren Fenster die zugehörige 2. Ableitungsfunktion $f^{″}$ zu sehen.
• Auf dem Graph der Ausgangsfunktion sind die 3 Wendepunkte hervorgehoben.
• Mit dem Schieberegler ganz oben kann man ein Intervall einstellen. Im betrachteten Intervall sind die Graphen mit durchgezogenen Linien dargestellt, außerhalb des Intervalls mit gestrichelten Linien.

Zum Herunterladen: kruemmung_hinreichende_bedingung.ggb

Aufgabe 1

Wir betrachten die Krümmungseigenschaften von Graph $f$. Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe (streng monoton steigend, streng monoton fallend, linksgekrümmt, rechtsgekrümmt).

Eigenschaft von $f^{″}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ ist ... im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist ... im Intervall $I$
$f^{″}$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ ist ... im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist ... im Intervall $I$

Aufgabe 2

Formuliere eine hinreichende Bedingung für das Krümmungsverhalten einer Funktion.