Vertiefung - Bedingungen für Monotonie
Zur Orientierung
Zielsetzung
Du hast vermutlich schon des öfteren Zusammenhänge zwischen der lokalen Steigung
Ziel in diesem Abschnitt ist es, diese Zusammenhänge mit dem Monotoniebegriff zu präzisieren.
Den Monotoniebegriff präzisieren
Im Applet sind für eine Beispielfunktion die Monotonieintervalle bereits gekennzeichnet. Die beiden Punkte
Zum Herunterladen: monotonie_definition.ggb
Mit dem Begriff streng monoton steigend erfasst man, dass
Aufgabe 1
Ergänze in der formalen Definition die fehlenden Teile.
Monotonie bei Funktionen
Eine Funktion ist streng monoton steigend im Intervall
Eine Funktion ist streng monoton fallend im Intervall
Eine hinreichende Bedingung für strenge Monotonie
Betrachte die Situation, dass Eigenschaften von
Zum Herunterladen: monotonie_hinreichend.ggb
Aufgabe 1
Erzeuge Graph
Eigenschaft von (hinreichende Bedingung) | hieraus folgt | Eigenschaft von |
---|---|---|
... | | im Intervall I. |
... | | im Intervall I. |
Eine notwendige Bedingung für strenge Monotonie
Betrachte hier die umgekehrte Situation, dass die Monotonieeigenschaften von
Zum Herunterladen: monotonie_notwendig.ggb
Aufgabe 2
Erzeuge Graph
Eigenschaft von | hieraus folgt | Eigenschaft von (notwendige Bedingung) |
---|---|---|
im Intervall I. | | ... |
im Intervall I. | | ... |
Ergebnisse sichern
Die Zusammenhänge zwischen Monotonie bei der Ausgangsfunktion und dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion haben wir anschaulich und nur ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Wir verzichten hier auf formale Beweise. Da wir das hinreichende Kriterium für strenge Monotonie in den weiteren Kapiteln immer wieder benutzen, sichern wir es als wichtiges Ergebnis.
Hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie (Monotoniesatz)
Wenn
Wenn