Strukturierung - Ebenengleichung

Vektorielle Beschreibung einer Ebene

Betrachte noch einmal das Gitternetz aus Drohnen(punkten). Vergewissere dich, dass alle Drohnen in einer Ebene liegen, indem du im Applet die Ansicht geeignet drehst. Stelle anschließend die Ausgangsansicht wieder her.

Wir betrachten jetzt die Drohnenebene genauer. Beachte, dass diese Ebene sich unendlich weit ausdehnt. Im Applet ist nur ein kleiner Ausschnitt dieser Drohnenebene mit dem grünen Parallelogramm dargestellt.

Zum Herunterladen: ebene2.ggb

Aufgabe 1

Die Ebene, in der alle Drohnen liegen, kann man mit folgender Ebenengleichung beschreiben:

$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Beachte, dass die Schieberegler im Applet nur ganzzahlige Werte aus dem Bereich $-5, -4, ..., 4, 5$ zulassen.

(a) Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms. Kontrolliere mit passenden Einstellungen auch die Ergebnisse aus Aufgabe 1 aus dem Abschnitt zur Drohnenshow.

(b) Erkläre, wie man mit Hilfe der Ebenengleichung beliebige Punkte der Ebene erhält. Erkläre u.a., welche Rolle die Vektoren $\vec{q}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ und $\vec{x}$ sowie die Parameter $r$ und $s$ dabei spielen.

(c) Man nennt $\vec{q}$ den Stützvektor der Ebene und $\vec{v}$ sowie $\vec{w}$ die Spannvektoren der Ebene. Vergleiche mit den Bestandteilen einer Geradengleichung: Was ist gleich, was unterscheidet sich? Erkläre, warum bei einer Ebene drei Vektoren zur Beschreibung nötig sind und bei einer Geraden nur zwei. Nutze die gerade eingeführten Fachbegriffe.

Variation des Stützpunktes

Die Drohne, die man aus Ausgangspunkt wählt, legt den Stützpunkt $Q$ der Drohnenebene fest. Diesen Stützpunkz kann man variieren.

Zum Herunterladen: ebene3.ggb

Aufgabe 2

Die Ebene, in der alle Drohnen liegen, wird jetzt mit dieser Ebenengleichung beschrieben:

$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Beachte, dass die Schieberegler auch im Applet nur ganzzahlige Werte aus dem Bereich $-5, -4, ..., 4, 5$ zulassen.

Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man auch hier mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms.

Variation der Spannvektoren

Die Punkte der Ebene werden alle mit Hilfe der vorgegebenen Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ erzeugt. Auch diese Spannvektoren kann man variieren. Das folgende Applet zeigt eine Möglichkeit.

Zum Herunterladen: ebene4.ggb

Aufgabe 3

Die Ebene, in der alle Drohnen liegen, kann man mit folgender Ebenengleichung beschreiben:

$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Beachte, dass die Schieberegler in diesem Applet auch halbzahlige Werte wie z.B. $2.5$ aus dem Bereich $-5, -4, ..., 4, 5$ zulassen.

Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man auch mit dieser Wahl der Spannvektoren mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms.

Linear abhängige Spannvektoren

Im folgenden Applet sind die Spannvektoren so gewählt, dass sie linear abhängig sind.

Zum Herunterladen: ebene5.ggb

Aufgabe 4

Welche Schwierigkeit ergibt sich hier? Warum müssen Spannvektoren immer linear unahängig gewählt werden? Begründe kurz.

Das Wichtigste notieren

Aufgabe 5

Nun sollst du dir das Wichtigste, was du auf diser Seite gelernt hast, notieren. Fülle dafür diesen Wissensspeicher aus.