Zusammenfassung - Punktprobe
Das Problem
Punktproben bei Ebenen liegt ein analoges Problem wie bei Geraden zu Grunde.
Bei einer Punktprobe geht es darum rechnerisch zu überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt in einer Ebene mit vorgegebener Ebenengleichung liegt oder nicht.
Lösungsansatz
Bei einer Punktprobe nutzt man auf die zentrale Eigenschaft einer vektoriellen Ebenengleichung aus:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit einem Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängige Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ genau dann, wenn es reelle Zahlen $r$ und $s$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
Beispiel:
Geg.:
Ebene $E$ mit E: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
Punkt $X(-1.75|3.5|4.5)$ bzw. $X(-0.5|3.5|3)$
Ges.:
Liegt der Punkt $X$ in der Ebene $E$?
Mit dem Applet kann man versuchen, passende Werte für die Parameter $r$ und $s$ zu finden.
Zum Herunterladen: ebene7b.ggb
Wenn man kein Applet zur Verfügung hat, dann hilft ein rechnerisches Verfahren zur Überprüfung.
Ein rechnerisches Verfahren
Das Vorgehen bei einer Punktprobe bei Ebenen ist ganz analog zum Vorgehen bei einer Punktprobe bei Geraden:
- Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.
- Schritt 2: Die Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung darstellen.
- Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.
- Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.
- Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
Wir zeigen hier das Vorgehen für Punkt $X(-1.75|3.5|4.5)$.
Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.
Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da eine Ebenengleichung vorgegeben ist.
Schritt 2: Die Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung darstellen.
$\left(\begin{array}{c} -1.75 \\ 3.5 \\ 4.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$
Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.
$\begin{array}{lrcl} [1] &\quad -1.75 & = & -0.5r - 0.5s \\ [2] &\quad 3.5 & = & 1 +r \\ [3] &\quad 4.5 & = & 4 + 0.5s \end{array}$
Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.
Auflösen von $[2]$ nach $r$ ergibt $r = 2.5$
Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s = 1$.
Einsetzen von $r$ und $s$ in $[1]$ ergibt $-1.75 = -1.75$. Diese Gleichung ist also auch erfüllt.
Das LGS hat somit die Lösung $(r; s) = (2.5; 1)$.
Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
Der Punkt $X(-1.75|3.5|4.5)$ liegt folglich in der Ebene $E$.
Führt man die entsprechenden Schritte für Punkt $X(-0.5|3.5|3)$ durch, so zeigt sich, dass das erzeugte Gleichungssystem keine Lösung hat und der Punkt $X(-0.5|3.5|3)$ folglich nicht in der Ebene $E$ liegt.
Eine alternative Sichtweise
Die zentrale Eigenschaft einer Ebenengleichung in Parameterfom lässt sich auch so weiterentwickeln.
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängigen Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$
$\Leftrightarrow$
Es gibt reelle Zahlen $r$ und $s$, so dass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
$\Leftrightarrow$
Es gibt reelle Zahlen $r$ und $s$, so dass $\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}} = r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
$\Leftrightarrow$
$\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}}$ ist eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$.
Eine Punktprobe kann man also auch so durchführen, indem man prüft, ob der Vektor $\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}}$ von Stützpunkt $Q$ der Ebene zum Prüfpunkt $X$ eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ der Ebene ist.
