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Erkundung - Schattenkonstruktion

Alternative Kontexte

Für die Erkundung sind hier zwei Seiten mit verschiedenen Kontexten vorbereitet: Hier eine Schattenkonstruktion und auf der nächsten Seite die Bestimmung von Schnittpunkten einer Stange und einer Scheibe. Es ist vorgesehen, dass nur eine der beiden Seiten bearbeitet wird. Diese Seite bietet sich insbesondere dann an, wenn man die Anwendung zu Schattenkonstruktionen bei den Spurpunkten von Geraden nicht behandelt hat.

Simulation der Pyramide im Louvre

Das Louvre-Museum möchte eine 3D-Simulation seines Gebäudes erstellen. Natürlich soll dabei auch die Glaspyramide im Eingangsbereich (mit ihren kleineren Partnern) abgebildet werden.

Damit alles möglichst realitätsnah aussieht, soll auch die Lichteinstrahlung und der dabei erzeugte Schatten berücksichtigt werden.

Zum Herunterladen: schatten1.ggb

Wir werden uns hier intensiver mit der Schattenkonstruktion auseinandersetzen und Verfahren für die Berechnung von Schattenpunkten entwickeln.

Schattenkonstruktion als Schnittproblem

Bei der Schattenkonstruktion muss der Schattenpunkt $S^{'}$ zur Pyramidenspitze $S$ konstruiert werden. Dieser Punkt $S^{'}$ ergibt sich, wenn man den Schnittpunkt der Geraden $g$ (die den Lichstrahl durch Punkt $S$ beschreibt) mit der Ebene $E_{12}$ (die die Bodenfläche beschreibt) bestimmt. Die Schattenkonstruktion lässt sich demnach rechnerisch durchführen, wenn man ein Verfahren zur Berechnung des Schnittpunkts einer Geraden mit einer Ebene zur Verfügung hat.

Wir nutzen die folgenden Ausgangsdaten:

Die Pyramide wird aus den Eckpunkten $A (5 | 0 | 0)$ , $B (5 | 5 | 0)$ , $C (0 | 5 | 0)$ , $D (0 | 0 | 0)$ und $S (2.5 | 2.5 | 3)$ gebildet.
Die Lichteinstrahlung wird mit dem Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})$ beschrieben.

Bei der Schnittpunktberechnung kann man analog zu einer Punktprobe vorgehen.

Schritt 1: Eine Geraden- und Ebenengleichung aufstellen.
Schritt 2: Die Bedingung „Gerade schneidet Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.
Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.
Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.
Schritt 5: Den Schnittpunkt bestimmen.

Aufgabe 1

Führe die Schritte bei der Schnittpunktberechnung möglichst selbstständig durch. Kontrolliere gegebenenfalls Zwischenergebnisse.

Schritt 1: Eine Geraden- und Ebenengleichung aufstellen.

Naheliegend (aber nicht zwingend) sind folgende Gleichungen:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )
$E_{12} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Schritt 2: Die Bedingung „Gerade schneidet Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.

Bedingung „ $g$ schneidet $E_{12}$ “ als Vektorgleichung:

$(\begin{matrix} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcr} [1] & 2.5 + 3 t & = & r \\ [2] & 2.5 - 4 t & = & s \\ [3] & 3 - 2 t & = & 0 \end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Auflösen von $[3]$ nach $t$ und Einsetzen von $t$ in $[1]$ und $[2]$ ergibt: $r = 7$ , $s = - 3.5$ , $t = 1.5$ .

Schritt 5: Den Schnittpunkt bestimmen.

Durch Einsetzen der Parameterwerte in die Ebenengleichung bzw. die Geradengleichung erhält man die Koordinaten des Schattenpunktes: $S^{'} (7 | - 3.5 | 0)$ .

Aufgabe 2

Das Vorgehen ähnelt stark dem einer Punktprobe. Reflektiere: Wo liegen die Unterschiede? Warum ist die Schnittpunktbestimmung etwas schwieriger als die Punktprobe?

Aufgabe 3

Erläutere kurz, in welchem Schritt man ein CAS sinnvoll nutzen kann.

Zum Herunterladen: lgs_schatten1.ggb

Aufgabe 4

A. hat die Aufgabe ohne ein CAS gelöst und ganz schön gestöhnt. B. wundert sich – schließlich war die Ebenengleichung doch recht angenehm zu bearbeiten. Er schaut nach und ist irritiert, als er bei A. Folgendes liest:

$E_{12} : \vec{x} = (\begin{matrix} 2.9 \\ 6.444 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - π \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 9.6 \\ \frac{1}{81} \\ 0 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

(a) Vergleiche mit deiner eigenen Lösung und den Ergebnissen von oben in Schritt 1. Vollziehe nach, ob A.s Ebenengleichung richtig ist.

(b) Begründe, warum es A. so schwer gefallen ist, den Schnittpunkt zu bestimmen. Was sollte man deshalb in Schritt 1 beachten?

Eine rechenaufwendigere Schattenberechnung

Um das Verfahren zu verstehen, sollte mindestens eine etwas schwierigere Schnittpunktbestimmung durchgeführt werden. Das geschieht in der folgenden Aufgabe. Die dritte Schnittpunktberechnung ganz unten stellt eine weitere Übung/Vertiefung dar, ist aber nicht zwingend erforderlich, um das Verfahren zu verstehen.

Je nach Sonneneinstrahlung kann es vorkommen, dass der Schatten der großen Pyramide auf eine kleinere Pyramide fällt.

Zum Herunterladen: schatten2a.ggb

Ziel ist es, auch für diese kompliziertere Ausgangssituation die erforderlichen Rechnungen durchzuführen.

Wir nutzen diese erweiterten Ausgangsdaten:

Die große Pyramide wird aus den Eckpunkten $A (5 | 0 | 0)$ , $B (5 | 5 | 0)$ , $C (0 | 5 | 0)$ , $D (0 | 0 | 0)$ und $S (2.5 | 2.5 | 3)$ gebildet.
Die kleine Pyramide wird aus den Eckpunkten $E (7 | - 4 | 0)$ , $F (7 | - 3 | 0)$ , $G (6 | - 3 | 0)$ , $H (6 | - 4 | 0)$ und $T (6.5 | - 3.5 | 0.5)$ gebildet.
Die Lichteinstrahlung wird weiterhin mit dem Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})$ beschrieben.

In einem ersten Schritt wird der Schnittpunkt $S^{″}$ der Geraden $g$ (die den Lichstrahl durch Punkt $S$ beschreibt) mit der Ebene $E_{F G T}$ (die durch eine Seite der kleinen Pyramide festgelegt wird) bestimmt.

Zum Herunterladen: schatten2b.ggb

Aufgabe 5

(a) Führe die Schritte zur Schnittpunktberechnung durch. Wenn du möchtest, nutze das CAS von oben an geeigneter Stelle.

Naheliegend (aber nicht zwingend) sind folgende Gleichungen:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )
$E_{F G T} : \vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ - 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Bedingung „ $g$ schneidet $E_{F G T}$ “ als Vektorgleichung:

$(\begin{matrix} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ - 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$

LGS zur Vektorgleichung:

$\begin{array}{lrcl} [1] & 2.5 + 3 t & = & 7 - r - 0.5 s \\ [2] & 2.5 - 4 t & = & - 3 - 0.5 s \\ [3] & 3 - 2 t & = & 0.5 s \end{array}$

Mit einem CAS erhält man $r = 1 / 12$ , $s = 1 / 3$ , $t = 17 / 12$ .

Durch Einsetzen der Parameterwerte in die Ebenengleichung bzw. die Geradengleichung erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes: $S^{″} (6.75 | - 3.17 | 0.17)$ (gerundete Werte). Dieser Punkt liegt im Innern des Dreiecks $F G T$ (da $r + s$ < $1$ gilt).

(b) Erkläre kurz, was in dieser Situation schwieriger war als bei der ersten Schattenkonstruktion.

Aufgabe 6

Die Schattenkonstruktion ist noch nicht ganz fertig. Man muss zusätzlich noch den Punkt $R$ bestimmen - hier fällt die Schattenkante auf den Erdboden. Schaue dir das im Applet an. Vergrößere ggf. die Darstellung.

Den Punkt $R$ erhält man als Schnittpunkt der Geraden $g_{B S^{'}}$ mit der Ebene $E_{F G T}$ , Bestimme auch diesen Punkt (zur Kontrolle: $R (6.88 | - 3 | 0)$ (gerundete Werte)).

Zum Herunterladen: schatten2c.ggb

Quellen

[1]: Glaspyramide im Louvre - Urheber: Darafsh - Lizenz: Creative Commons BY-SA 3.0