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Strukturierung - Ein Rechenverfahren

Das Problem

Bei einer Punktprobe geht es darum zu überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt in einer Ebene mit vorgegebener Ebenengleichung liegt oder nicht.

Beispiel:

Geg.:

Ebene $E$ mit $E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0.75 \\ - 0.5 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.75 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Punkt $X$ mit $X (- 1.45 | 2.7 | 4.6)$

Ges.:

Liegt der Punkt $X$ in der Ebene $E$ ?

Mit dem Applet kann man versuchen, passende Werte für die Parameter $r$ und $s$ zu finden.

Zum Herunterladen: punktprobe1.ggb

Wenn man kein Applet zur Verfügung hat, dann hilft ein rechnerisches Verfahren zur Überprüfung.

Ein rechnerisches Verfahren

Bei einer Punktprobe bei Ebenen kann man ganz analog vorgehen wie bei einer Punktprobe bei Geraden:

Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.
Schritt 2: Die Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung darstellen.
Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.
Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.
Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Aufgabe 1

Führe die Schritte der Punktproble möglichst selbstständig durch. Orientiere dich an einer Punktprobe bei Geraden. Kontrolliere die Zwischenergebnisse.

Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung:

$(\begin{matrix} - 1.45 \\ 2.7 \\ 4.6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.75 \\ - 0.5 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.75 \end{matrix})$

Gleichungssystem zur Vektorgleichung:

$\begin{array}{lrcl} [1] & - 1.45 & = & 0.75 - r - s \\ [2] & 2.7 & = & - 0.5 + 2 r + 0.5 s \\ [3] & 4.6 & = & 4 + 0.75 s \end{array}$

Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s = 0.8$ .

Einsetzen von $s = 0.8$ in $[2]$ und Auflösen von $[2]$ nach $r$ ergibt $r = 1.4$ .

Einsetzen von $r$ und $s$ in $[1]$ ergibt $- 1.45 = - 1.45$ . Diese Gleichung ist also auch erfüllt.

Das LGS hat somit die Lösung $(r; s) = (1.4; 0.8)$ .

Der Punkt $X (- 1.45 | 2.7 | 4.6)$ liegt also in der Ebene $E$ .

Aufgabe 2

(a) Das Gleichungssystem in Schritt 4 kann man auch mit einem Computeralgebrasystem (kurz: CAS) lösen.

Zum Herunterladen: lgs_punktprobe1.ggb

Führe hierzu den Befehl in Zeile [4] aus. Kontrolliere so auch das selbst ermittelte Ergebnis.

(b) Kommentiere die folgende Aussage: "Für die Denkarbeit bist du zuständig, die Rechenarbeit kann der Computer dann übernehmen".

Aufgabe 3

Kann man auch folgende Bedingung für eine Punktprobe benutzen? Begründe.

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängigen Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ genau dann, wenn der Vektor $\vec{x} - \vec{q}$ eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist.