Erkundung - Flächendurchdringung

Interessante Körper

Aus drei Würfeln lässt sich ein interessanter Körper konstruieren.

Der neue Körper entsteht hier, indem 3 Würfel sich „durchdringen“. Es gibt weitere interessante Körper, die auf diese Weise entstehen.

Aufgabe 1

Erläutere, aus welchen „Bausteinen“ dieser Körper entstanden ist.

Durchdringung von Flächen

Das Durchdringen von Flächen spielt eine wichtige Rolle bei der Konstruktion komplexer Körper. Das folgende Video zeigt ein einfaches Beispiel.

Für die Darstellung solcher Körper benötigt man Information über die Kanten des Körpers, die beim Durchdringen der Flächen entstehen. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, das Durchdringen von Flächen in einem einfachen Fall etwas genauer zu untersuchen. Wir betrachten hierzu den Fall, dass zwei Ebenen gegeben sind.

Zum Herunterladen: lageebenen1.ggb

Aufgabe 2

(a) Welches „Schnittgebilde“ entsteht, wenn 2 Ebenen sich durchdringen?

(b) Untersuche auch die folgenden Sonderfälle. Gib jeweils die Koordinaten der Vektoren im Applet ein. Beschreibe das jeweils entstehende „Schnittgebilde“.

Sonderfall A:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Sonderfall B:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Das Schnittgebilde bestimmen

Die Schnittpunktbestimmung bei 2 Ebenen erfolgt völlig analog zur Schnittpunktbestimmnung bei einer Geraden und einer Ebene. Wir betrachten dafür gleich den folgenden Fall:

Fall C:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 3

(a) In einem ersten Schritt wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt. Ergänze das Gleichungssystem und kontrolliere es im nachfolgenden Applet (Tipp: A, B. C).

$ [1] \; ... \\ [2] \; ... \\ [3] \; ... $

Zum Herunterladen: lageebenen2.ggb

(b) Um das Gleichungssystem im Applet zu lösen wurde der Befehl in Zeile 4 mit der [return]-Taste ausgeführt. Aber die entstandene Rückmeldung ist auf den ersten Blick merkwürdig: $\{\{r=0,s=z,y=z+1,z=z\}\}$. Wie man solche Darstellungen von Lösungsmengen deutet, werden wir in einem späteren Kapitel systematischer betrachten. Im vorliegenden Fall erhält man die Gerade $g$ mit.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) $ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Versuche selbst, diese Geradengleichung aus dem Ergebnis $\{\{r=0,s=z,y=z+1,z=z\}\}$ zu erschließen.

(c) Teste analog die Sonderfälle A und B. Versuche auch hier, das Ergebnis, das beim Lösen des Gleichungssystems zurückgegeben wird, zu deuten.