Zusammenfassung - Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

Ein gemeinsamer Punkt

Ziel ist es, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen. Gegeben sind hierzu:

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1.25\\ 4\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -0.5\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Wenn die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt $S$ schneidet, dann liegt $S$ sowohl in der Ebene $E$ wie auch auf der Geraden $g$. Es muss also passende Parameterwerte $r$ und $s$ für die Ebenengleichung und $t$ für die Geradengleichung geben, so dass der gleiche Ortsvektor $\overrightarrow{x}$ erzeugt wird.

Im vorliegenden Fall ist das möglich, wenn man $r=1.5$, $s=1$ und $t=3$ wählt. Probiere es selbst mit dem folgenden Applet aus.

Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb

Berechnung des Schnittpunktes

Folgende Bedingung muss für einen gemeinsamen Punkt in $E$ und auf $g$ erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c}-1.25\\ 4\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -0.5\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$

Die Vektorgleichung lässt sich in ein entsprechendes lineares Gleichungssystem (LGS) überführen:

$$\begin{gathered} [1]-1.25=-0.5r-0.5s \\ [2]4-0.5t=1+r \\ [3]1.5+t=4+0.5s \end{gathered}$$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein solches LGS zu lösen. Wir nutzen hier ein Computeralgebrasystem, um schnell zur Lösung zu gelangen. Wie man beim Lösen eines LGS systematisch vorgehen kann, wir in Kapitel ... gezeigt.

Zum Herunterladen: lgs_schnittpunkt1.ggb

Führe die Anweisung [4] mit [Return] noch einmal aus.

Mit der Lösung $(r=1.5,s=0.5,t=3)$ kann man jetzt den Schnittpunkt berechnen. Hierzu setzt man die Parameterwerte in die entsprechenden Gleichungen ein. Eine Berechnung reicht in der Regel. Oft ist es gut, zur Kontrolle beide Rechnungen durchzuführen.

E: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+1.5\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1.25\\ 2.5\\ 4.5\end{array}\right)$

g: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1.25\\ 4\\ 1.5\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -0.5\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1.25\\ 2.5\\ 4.5\end{array}\right)$

Der Schnittpunkt $S$ hat also die Koordinaten $S(-1.25|2.5|4.5)$.