Überprüfung - Punktprobe

Aufgabe 1 - Punktprobe im Kopf

Eine Ebene ist mit folgender Ebenengleichung festgelegt worden.

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

Überprüfe (im Kopf), ob folgende Punkte in der Ebene $E$ liegen.

• $A(3|1|0)$
• $B(3|0|5)$
• $C(2|2|2)$
• $D(0|4|4)$

Aufgabe 2 - Fehlersuche

Gegeben ist folgende Ebene $E$:

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

Überprüft wird hier, ob $X(0|1|4)$ in der Ebene $E$ liegt. In der folgenden Rechnung hat sich ein Fehler eingeschlichen. Suche diesen Fehler und führe die Überlegungen korrekt zu Ende.

Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.

Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da eine Ebenengleichung vorgegeben ist.

Schritt 2: Die Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung darstellen.

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcl}[1]& 0& =& 3-2r-2s\\ [2]& 1& =& 2r+s\\ [3]& 4& =& 5+s\end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s=-1$

Einsetzen von $s=-1$ in $[2]$ und Auflösen nach $r$ ergibt $r=1$.

Das LGS hat somit die Lösung $(r;s)=(1;-1)$.

Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Der Punkt $X(0|1|4)$ liegt folglich in der Ebene $E$.