Überprüfung - Punktprobe

Aufgabe 1 - Punktprobe im Kopf

Eine Ebene ist mit folgender Ebenengleichung festgelegt worden.

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Überprüfe (im Kopf), ob folgende Punkte in der Ebene $E$ liegen.

• $A(3|1|0)$
• $B(3|0|5)$
• $C(2|2|2)$
• $D(0|4|4)$

Aufgabe 2 - Fehlersuche

Gegeben ist folgende Ebene $E$:

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Überprüft wird hier, ob $X(0|1|4)$ in der Ebene $E$ liegt. In der folgenden Rechnung hat sich ein Fehler eingeschlichen. Suche diesen Fehler und führe die Überlegungen korrekt zu Ende.

Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.

Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da eine Ebenengleichung vorgegeben ist.

Schritt 2: Die Bedingung "Punkt liegt in der Ebene" als Vektorgleichung darstellen.

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcl} [1] &\quad 0 & = & 3 -2r - 2s \\ [2] &\quad 1 & = & 2r + s \\ [3] &\quad 4 & = & 5 + s \end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s = -1$

Einsetzen von $s = -1$ in $[2]$ und Auflösen nach $r$ ergibt $r = 1$.

Das LGS hat somit die Lösung $(r; s) = (1; -1)$.

Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Der Punkt $X(0|1|4)$ liegt folglich in der Ebene $E$.