Übungen - Ebenengleichung

Aufgabe 1 - Ebenen am Würfel

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt.

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(a) Welche Ebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen festgelegt? Beschreibe ihre jeweilige Lage durch Angabe von Eckpunkten des Würfels und verdeutliche die Lage in einer Skizze.

• $E_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_3: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_4: \vec{x} = r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(b) Beschreibe analog die folgenden Ebenen mit Ebenengleichungen.

• $E_5$: Ebene durch $E$, $F$, $G$ und $H$

• $E_6$: Ebene durch $B$, $D$, $H$ und $F$

• $E_7$: Ebene durch $A$, $B$, $C$ und $D$

• $E_8$: Ebene durch $B$, $G$ und $D$

(c) Gib (mindestens 3) verschiedene Ebenengleichungen an, die dieselbe Ebene wie die folgende Ebenengleichung festlegen. Variiere den Stützvektor und die Spannvektoren.

$E_9: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 2 - Punkte erzeugen

Gegeben ist noch einmal ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt.

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Betrachte die folgende Ebenengleichung:

$E_{10}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(a) Setze für $r$ und $s$ die folgenden Werte ein und beschreibe die Lage im Würfel.

• $r=1$ und $s=0$

• $r=1$ und $s=1$

• $r=0.5$ und $s=0$

• $r=0.5$ und $s=0.5$

(b) Bestimme 5 weitere Punkte, die in der Ebene $E_{10}$ liegen.

(c) Liegt der Punkt $(8|0|-4)$ in der Ebene $E_{10}$? Begründe.

Aufgabe 3 - Alles ok hier?

Gegeben ist wieder ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt.

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Betrachte diese Ebenengleichung:

$E_{11}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Welche Punktmenge wird hier beschrieben? Erläutere die Schwierigkeit, die bei dieser "Ebenengleichung" auftritt.

Aufgabe 4 - Berechnungen zu einer Drohnenshow

Das Louvre-Museum in Paris möchte mit einer Drohnenshow auf sich aufmerksam machen. Die Pyramide im Eingangsbereich soll mit Drohnen am Himmel nachgebildet werden. Das Applet zeigt – zumindest in Teilen –, wie das aussehen soll.

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Deine Aufgabe ist es, die Drohnenpositionen genau festzulegen. Gehe von folgenden Daten zur Drohnenpyramide aus. Die Eckpunkte sollen im 3D-Koordinatensystem folgende Koordinaten haben: $A(5|0|2)$, $B(5|5|2)$, $C(0|5|2)$, $D(0|0|2)$ und $S(2.5|2.5|5)$.

(a) Beschreibe die Seitenflächen der Pyramide mit Hilfe von Ebenengleichungen.

$E_{ABS}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} ... \\ ... \\ ... \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} ... \\ ... \\ ... \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

$E_{BCS}: ...$

$E_{CDS}: ...$

$E_{DAS}: ...$

(b) Bestimme exemplarisch einige Drohnenpunkte, die in der Ebene $E_{ABS}$ liegen. Benutze wie im Applet eine Unterteilung der Pyramidenkanten in 5 gleiche Teile.

(c) Die Berechnung aller Drohnenpunkte ist viel Arbeit. Ändere die Strategie: Du machst die Denkarbeit, GeoGebra führt die Rechnungen aus.

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In diesem Applet ist die Pyramide mit den Eckpunkten und den (gestrichelten) Kantenlinien bereits vorgegeben.

Folgende Schritte (im Applet bereits durchgeführt) erleichtert die Arbeit.

Schritt 1: Eingabe der Bestandteile der betrachteten Ebene:

$a = Vektor(O, A)$
$v = 1/5 * Vektor(A, B)$
$w = 1/5 * Vektor(A, S)$

Schritt 2: Eingabe der Ebenengleichung (als Funktion, die den Parameterwerten $r$ und $s$ den entsprechenden Ortsvektor zuordnet):

$E(r,s) = a + r*v + s*w$

Schritt 3: Berechnung der Ebenenpunkte:

$E(1,0)$
$E(2,0)$
...

Deine Aufgabe: Mache dich mit den bereits vollzogenen Schritten im Applet vertraut. Ergänze analog die weiteren Drohnenpunkte (auf allen Pyramidenflächen).