Erkundung - Ein Lageproblem
Das Problem
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 6, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Durch die drei Eckpunkte $B$, $D$, und $E$ wird eine Ebene $E_{BDE}$ festgelegt.
Liegt der Mittelpunkt $M$ des Würfels in der Ebene $E_{BDE}$?
Zum Herunterladen: wuerfel_mit_ebene.ggb
Das Applet lässt keine Drehungen zu, so dass man sich die Konstellation nicht aus verschiedenen Perspektiven anschauen kann. Hier musst du also versuchen, dir die Problemsituation mental vorzustellen. Stelle eine Vermutung auf.
Lösung des Problems
Bearbeite hierzu die folgenden Aufgaben.
Aufgabe 1
(a) Gib die Koordinaten von Punkt $M$ an. Tipp: Erinnere dich daran, wie man algebraisch Strecken halbiert.
(b) Beschreibe die Ebene $E_{BDE}$ mit einer Ebenengleichung.
Punkt $M$ hat die Koordinaten $M(3|3|3)$.
Wenn man $\overrightarrow{ OB }$ als Stützvektor und $\overrightarrow{ BD }$ sowie $\overrightarrow{ BE }$ als Spannvektoren nutzt, erhält man folgende Ebenengleichung:
$E_{BDE}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 2
Überprüfe, ob es passende Parameterwerte für die Ebenengleichung gibt, so dass man Punkt $M$ erhält.
Die Bedingung "$M$ liegt in $E_{BDE}$" als Vektorgleichung:
$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)$
Prüfe, ob die Vektorgleichung mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ erfüllt werden kann. Formuliere deine Argumente und das hieraus resultierende Ergebnis.
Aufgabe 3
Überprüfe analog, ob $T(1|1|1)$ oder $S(2|2|2)$ in der Ebene $E_{BDE}$ liegen.
