Strukturierung - Lagebeziehungen bei Ebenen

Lage von Ebenen zueinander beschreiben

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Ebenen zueinander liegen können. Das Applet gibt eine Ebene vor, deren Position man verändern kann, indem man den Punkt $P$ im Koordinatensystem bewegt. Weitere Ebenen werden durch die Würfelseiten festgelegt. Jede der 6 Würfelseiten legt eine Ebene fest, die diese Würfelseite enthält, sich darüber hinaus aber unendlich weit ausdehnt.

Zum Herunterladen: ebene_und_ebene.ggb

Aufgabe 1

(a) Beschreibe jeweils die Beziehung der beiden Ebenen:

• die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $E,F,G,H$
• die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $A,B,C,D$
• die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $B,C,G,F$

(b) Wie viele Schnittpunkte gibt es bei den verschiedenen Lagebeziehung? Erläutere anhand des Applets. Beschreibe auch das „Schnittgebilde“.

Schnittpunkte von zwei Ebenen rechnerisch bestimmen

Betrachte den Fall, der im Applet vorgegeben ist. Für die Ebenen kann man folgende Ebenengleichungen aufstellen:

• $E_P: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $E_{BCGF}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 2

(a) Stelle das sich aus den Ebenengleichungen ergebende lineare Gleichungssystem auf, mit dem man die Schnittpunkte der beiden Ebenen bestimmen kann.

$ [1] \; ... \\ [2] \; ... \\ [3] \; ... $

(b) Erläutere den Aufbau des Gleichungssystems (Anzahl der Gleichungen; Anzahl der Variablen).

(c) Im vorliegenden Fall kann man direkt erschließen, dass $r=0$ gelten muss. Erläutere das. Begründe dann, dass die beiden Ebene sich in der Geraden $g$ schneiden.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 3

Vergleiche die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei Ebenen mit der Bestimmung der Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ebene. Welche Analogien gibt es bei der Vorgehensweise? Welche rechnerischen Schwierigkeiten treten bei zwei Ebenen auf?