Erkenntnisse über Sinus und Kosinus
Ein erweitertes Applet
In den nachfolgenden Aufgaben wirst du mehrfach dieses Applet benutzen. Im Vergleich zur vorherigen Seite sind die Seitennamen $c$ und $a$ durch die Winkelfunktionen ersetzt worden. Das war möglich, weil die Hypotenuse (als Radius des Kreises) genau $1$ lang ist. Deshalb ist z.B. $\sin(\alpha) = \frac{a}{b} = a$.
Zum Herunterladen: einheitskreis_2.ggb
Schranken und Definitionsbereich
Falls du das vorherige Unterkapitel zu Zusammenhängen der Winkelfunktionen bearbeitet hast, werden dir Teile von Aufgabe 1 und 2 auf dieser Seite bekannt vorkommen. Du solltest sie allerdings dennoch bearbeiten, weil hier aus einem anderen Blickwinkel heraus argumentiert wird. Zugleich bietet es sich an, die noch einmal klarzumachen, wie man ohne Einheitskreis zu denselben Ergebnissen gekommen ist.
Aufgabe 1: Den Definitionsbereich erweitern
(a) Begründe, warum wir eigentlich die drei Winkelfunktionen nicht für die Winkel $0°$ und $90°$ definiert haben.
(b) Teste mit dem Taschenrechner, was passiert, wenn du $\sin(0°)$, $\sin(90°)$, $\cos(0°)$ und $\cos(90°)$ berechnest.
(c) Begründe deine Ergebnisse aus Teil (b) mit dem Applet oben.
Aufgabe 2: Schranken für die Funktionen
Wenn eine Funktion einen bestimmten Wert nicht überschreiten kann, dann nennt man diesen eine obere Schranke. Genauso heißt ein Wert, den eine Funktion nicht unterschreiten kann, untere Schranke.
(a) Begründe mit dem Applet oben, dass $0$ eine untere Schranke für den Sinus und Kosinus darstellt.
(b) Finde und begründe mit dem Applet oben eine geeignete obere Schranke für Sinus und Kosinus.
Ein Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus
Aufgabe 3: Pythagoras lässt grüßen
Im Applet ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, in dem zwei Winkelfunktionen auftauchen. Wende auf dieses Dreieck den Satz des Pythagoras an und du erhältst einen bemerkenswerten Zusammenhang über den Sinus und den Kosinus: $$1 = \dots$$
