Zusammenfassung – Zusammenhänge der Winkelfunktionen
Erweiterung des Definitionsbereichs
Mit unserem bisherigen Vorgehen sind die Winkelfunktionen nur für Winkel $\alpha$ definiert, die größer als $0°$ und kleiner als $90°$ sind. Bei diesen beiden Winkeln würde nämlich kein Dreieck entstehen. Wenn man aber den Winkel immer kleiner werden lässt, dann nähern sich die Werte von $\sin(\alpha)$ usw. einer bestimmten Zahl an. Man kann dann definieren, dass diese Zahl dem Funktionswert an der Stelle $0°$ entsprechen soll. Genauso verfährt man mit $90°$.
Eine Besonderheit ist dabei $\tan(90°)$. Je stärker sich $\alpha$ einem rechten Winkel annähert, desto größer wird der Tangens. Weil die Tangeswerte dabei beliebig groß werden, definiert man $\tan(90°)=\infty$; das bedeutet „unendlich“.
Zusammenfassend ergibt sich die folgende Erweiterung der Definition:
Wir legen fest:
- $\sin(0°) = 0$ und $\sin(90°) = 1$
- $\cos(0°) = 1$ und $\cos(90°) = 0$
- $\tan(0°) = 0$ und $\tan(90°) = \infty$ (oder undefiniert)
Zusammenhänge der Winkelfunktionen
Wenn man die Definition der Winkelfunktionen für die beiden spitzen Winkel eines Dreiecks betrachtet, stellt man folgende Zusammenhänge fest:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta$ gilt:
- $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$
- $\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = 1$
- $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Alle drei Zusammenhänge lassen sich sehr einfach beweisen, wenn man die Definitionen einsetzt und die entsprechenden Brüche kürzt.
Schranken
Da alle drei Winkelfunktionen als Quotient von Längen definiert sind, sind Sinus, Kosinus und Tangens nie negativ. Da die Hypotenuse die längste Seite im Dreieck ist, sind Sinus und Kosinus immer kleiner als $1$. Da zur Definition des Tangens die Gegenkathete durch die Ankathete geteilt wird und die Gegenkathete viel größer als die Ankathete sein kann, kann der Tangens beliebig große Werte annehmen. Zusammenfassend gilt der folgende Satz:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel $\alpha$ gilt:
- $\sin(\alpha)$ ist durch $0$ nach unten und durch $1$ nach oben beschränkt.
- $\cos\alpha)$ ist durch $0$ nach unten und durch $1$ nach oben beschränkt.
- $\tan(\alpha)$ ist durch $0$ nach unten beschränkt; es gibt keine obere Schranke.
Die Schranken lassen sich mithilfe der Definitionen der drei Winkelfunktionen leicht zeigen. Es fließt dabei ein, dass die Hypotenuse die längeste Seite im rechtwinkligen Dreieck darstellt.
Bemerkenswerte Funktionswerte
Bestimmte Winkel führen zu wichtigen Ergebnissen:
- $\alpha = 0°$: Es entsteht kein Dreieck mehr. Die Gegenkathete wäre dabei $0$, entsprechend würde $\sin(0°)=0$ und $\tan(\alpha)=0$ gelteb. Ankathete und Hypotenuse wären gleich lang, entsprechend wäre $\cos(0°)=1$.
- $\alpha = 30°$: Die Ankathete ist halb so groß wie die Hypotenuse, entsprechend gilt $\sin(30°)=\frac{1}{2}$.
- $\alpha = 45°$: Das Dreieck ist gleichschenklig. Entsprechend sind Sinus und Kosinus nun gleich groß; in der Folge beträgt der Tangens $1$. Durch Ausmessen und Rechnen ergibt sich $\sin(\alpha) \approx 0,71$.
- $\alpha = 60°$: Die Gegenkathete ist halb so groß wie die Hypotenuse, entsprechend gilt $\cos(60°)=\frac{1}{2}$.
- $\alpha = 90°$: Es entsteht kein Dreieck mehr. Die Ankathete wäre dabei $0$, entsprechend würde $\cos(90°)=0$ gelten. Gegenkathete und Hypotenuse wären gleich lang, entsprechend würde $\sin(90°)=1$ gelten. Da bei der Berechnung des Tangens' durch die Ankathete geteilt wird, ist sie an dieser Stelle nicht definiert. Sie wird für Winkel nahe an $90°$ beliebig groß; deshalb schreibt man manchmal $\tan(90°)=\infty$.
Zum Herunterladen: winkelfunktionen2.ggb
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