Erkundung – Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen im Dreieck
Winkelfunktionen für $0°$ und $90°$
Aufgabe 1: Den Definitionsbereich erweitern
(a) Begründe, warum wir eigentlich die drei Winkelfunktionen nicht für die Winkel $0°$ und $90°$ definiert haben.
(b) Teste mit dem Taschenrechner, was passiert, wenn du $\sin(0°)$, $\sin(90°)$, $\cos(0°)$, ... berechnest.
(c) Begründe deine Ergebnisse aus Teil (b).
Nutze folgende Argumentationsweise: „Bei einem Winkel von ... wäre die ... gar nicht vorhanden, also $0$ lang. Wenn ich nun ..., dann ...“
Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen
Aufgabe 2: Vorbereitung
Im nachfolgenden Applet kannst du den Punkt mit dem rechten Winkel verschieben.
(a) Zur Wiederholung: Warum bleibt das Dreieck immer rechtwinklig, wenn der Punkt $C$ auf dem Halbkreis verschoben wird?
(b) Die farbigen Begriffe „$\sin(\alpha)$“ usw. lassen sich verschieben. Schiebe sie jeweils zum richtigen Seitenverhältnis.
(c) Formuliere einen ersten Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus, den du hier feststellst.
Zum Herunterladen: winkelfunktionen.ggb
In den Textfeldern im Applet werden gerundete Werte angezeigt, sodass manche Ergebnisse ggf. auf den ersten Blick falsch wirken.
Aufgabe 3: Zusammenhänge finden und begründen
In dieser Aufgabe geht es darum, mithilfe des obigen Applets weitere Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen herauszufinden und zu begründen. Dafür bieten sich zwei Vorgehensweisen an:
- Einfacher: Bestimme die gesuchten Winkel experimentell und finde dann durch Nachdenken heraus, warum die jeweilige Situation eintritt.
- Anspruchsvoller: Finde durch Nachdenken heraus, wie die Winkel jeweils sein müssen, und überprüfe dann experimentell.
(a) Wann gilt $\sin(\alpha) = 0$? Wann gilt $\sin(\alpha) = 1$?
(b) Wann gilt $\cos(\alpha) = 0$? Wann gilt $\cos(\alpha) = 1$?
(c) Wann gilt $\tan(\alpha) = 0$? Wann wird der Tangens unendlich groß ($\tan(\alpha)=\infty$)?
(d) Wann gilt $\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = 1$?
(e) Wann gilt $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$?
Der Quotient ist $1$ genau dann, wenn $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$. Damit findest du die Situation leicht. In der entsprechenden Einstellung ist jedoch nicht nur der Quotient aus der Aufgabenstellung $1$, sondern noch zwei weitere Verhältnisse. Zufall?
