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Strukturierung – Sinus- und Kosinusfunktion

Winkelfunktionen im Gradmaß

In der Erkundung hast du festgestellt, dass man den Definitionsbereich von Sinus und Kosinus auch auf mehr als 90° erweitern kann. Tatsächlich kann man jedem beliebigen Winkel einen Sinus- und Kosinuswert zuweisen. Dafür nutzt man die Darstellung am Einheitskreis.

Die Winkelfunktionen sin(α) und cos(α) ordnen jedem Winkel α die Koordinaten eines umlaufenden Punktes auf einem Einheitskreis zu.

Darstellung am Einheitskreis

Beachte, dass diese Definition für die Winkel von 0° bis 90° dieselben Werte liefert wie die Definition mithilfe rechtwinkliger Dreiecke. Das wurde im Abschnitt Winkelfunktionen am Einheitskreis gezeigt. Die Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion liegen aufgrund der Definition im Intervall [1,1].

Zum Herunterladen: trigonometrische-fkt-gradmass.ggb

Aufgabe 1

Erstelle mithilfe des Applets eine Wertetabelle für den Sinus und Kosinus. Suche dir hierfür „charakteristische Werte“ heraus (z.B.: Welcher Funktionswert liegt bei 45°, 90° usw. vor? Wann ist der Funktionswert 0, 0.5, 1?).

Eine Besonderheit dieser Funktionen ist, dass sich die Funktionswerte immer wieder wiederholen, sobald man 360° „weitergeht“. Es gilt also zum Beispiel sin(420°)=sin(60°), weil 420°=60°+360°. Man kann den Zusammenhang so in Formeln ausdrücken:

Für alle kZ gilt sin(α)=sin(α+k360°) sowie cos(α)=cos(α+k360°).

Man nennt die Sinus- und Kosinusfunktion daher periodisch mit der Periode 360°.

Aufgabe 2

Recherchiere, wo die Begriffe „Periode“ und „periodisch“ innerhalb und außerhalb der Mathematik noch vorkommen. Haben sie dabei eine ähnliche Bedeutung?

Winkelfunktionen im Bogenmaß

Es ist sehr untypisch, dass die x-Werte einer Funktion Winkel sind. Normalerweise definieren wir Funktionen so, dass sie reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbilden. Wenn wir aber die Winkel nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß betrachten, dann erhalten wir Funktionen von R nach R.

Die Winkelfunktionen sin(x) und cos(x) ordnen jeder reellen Zahl x die Koordinaten eines umlaufenden Punktes auf einem Einheitskreis zu, wobei x als Winkel im Bogenmaß aufgefasst wird.

Darstellung am Einheitskreis

Im folgenden Applet kann der Punkt P verschoben werden.

Zum Herunterladen: trigonometrische-fkt-bogenmass.ggb

Aufgabe 3

Betrachte deine Tabelle aus Aufgabe 1 und ergänze sie um die entsprechenden Werte im Bogenmaß. Damit hast du eine Wertetabelle für sin(x) und cos(x). Vergleiche mit dem Applet oben.

Aufgabe 4

Natürlich sind auch sin(x) und cos(x) periodische Funktionen. Was ist hier (im Bogenmaß) nun die Periode? Formuliere die Aussage als Satz, so wie oben beim Gradmaß.

Untersuchung der Graphen

Wie bei anderen Funktionen auch, lohnt es sich, die Gestalt der Graphen betrachten.

Aufgabe 5

Nutze das Applet oben, um die Graphen genauer zu analysieren:

  • Analysiere die Symmetrie: Eine der Funktionen ist achsensymmetrisch zur y-Achse und eine ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf welche trifft was zu?
  • Analysiere die Vorzeichen und Nullstellen: Für welche Zahlen x ist sin(x) bzw. cos(x) gleich null? Wann sind die Funktionswerte positiv, wann negativ?
  • Zusammenhang von Sinus und Kosinus: Man kann den Graphen des Kosinus erhalten, indem man den Graphen des Sinus etwas verschiebt. Um wieviel muss er entlang der x-Achse verschoben werden?

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