Übung – Winkelfunktionen
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Aufgabe X: Besondere Winkel
In dieser Aufgabe bestimmst du die Funktionswerte der Winkelfunktionen für besonders wichtige Winkel. Zugleich werden erste Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen vorbereitet.
Du kannst diese Aufgabe mit dem unten folgenden Applet bearbeiten. Darin sind auch Kontrollergebnisse vorgegeben. Alternativ ist es aber auch möglich – und ggf. eine gute Übung –, dass du das Dreieck selbst zeichnest. Achte darauf, dass du nicht nur die Ergebnisse bestimmst, sondern auch immer den Lösungsweg notierst.
Wir haben die Winkelfunktionen nur für rechtwinklige Dreiecke definiert. Doch auch andere Dreiecke können zerlegt werden, sodass rechtwinklige Dreiecke entstehen. Wir betrachten hier ein gleichseitiges Dreieck.
(a) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck und nenne die Seitenlänge $a$. Zeichne eine Höhe ein. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Alternativ nutze direkt das Applet unten und springe zu Teil (b).
(b) Bestimme die Winkel in den kleinen rechtwinkligen Dreiecken. Nenne den Satz, mit dem du hier die Winkel bestimmt hast.
(c) Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu bestimmen. Achte darauf, dass du diese Berechnung nachvollziehbar notierst.
(d) Bestimme nun mithilfe der Definition der Winkelfunktionen die folgenden Werte:
- $\sin(30°)$
- $\sin(60°)$
- $\cos(30°)$
- $\cos(60°)$
- $\tan(30°)$
- $\tan(60°)$
(e) Berechne mit den Werten aus (d) $\frac{\sin(30°)}{\cos(30°)}$ und vergleiche mit $\tan(30°)$. Wiederhole dies für $60°$. Findest du ein Argument für diesen Zusammenhang?
Zum Herunterladen: gleichseitiges-dreieck.ggb
