Strukturierung – Winkelfunktionen verschieben und strecken
Orientierung
Bereits in der Erkundung zu Windrädern hast du festgestellt, dass man die Graphen trigonometrischer Funktionen nach oben verschieben und die Höhe der „Wellen“ verändern kann. Solche Veränderungen untersuchen wir in diesem Abschnitt strukturiert anhand der Sinusfunktion.
Mögliche Veränderungen der Sinusfunktion
Welche Veränderungen kann man an der Sinusfunktion überhaupt vornehmen?
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Aufgabe 1: Welche Veränderungen gibt es?
Nutze das Applet oben, um möglichst genau zu beschreiben, welche Änderungen am Graphen der Sinusfunktion möglich sind.
Aufgabe 2: Verschiebung nach oben
(a) Schau noch einmal in der Erkundung nach oder überlege selbst: Wie muss man die Funktionsgleichung der Sinusfunktion verändern, um den Graphen um $h$ Einheiten nach oben zu verschieben?
(b) Formuliere allgemein: Wie verschiebt man den Graphen einer beliebigen Funktion $f(x)$ um $h$ Einheiten nach oben?
Aufgabe 3: Verschiebung nach rechts
(a) Erinnere dich am Beispiel der Funktion $f(x) = x²$: Wie muss man diese Funktionsgleichung ändern, um den Graphen drei Einheiten nach rechts zu verschieben?
$g(x) = (x-3)^2$.
(b) Formuliere allgemein: Wie verschiebt man den Graphen einer beliebigen Funktion $f(x)$ um $c$ Einheiten nach rechts?
(c) Übertrage die Überlegungen auf die Sinusfunktion: Wie muss man die Funktionsgleichung verändern, um den Graphen um $c$ Einheiten nach rechts zu verschieben?
Aufgabe 4: Verändern der Amplitude
Wie weit der Sinusgraph nach oben reicht, also die maximale Ausschlagshöhe von der „Nulllinie“ aus, nennt man seine Amplitude. Findest du ohne Hilfe heraus, was man an der Funktionsgleichung ändern muss, um die Amplitude zu verändern?
(a) Betrachte erst wieder das Beispiel $f(x) = x²$: Was musst du hier ändern, damit alle Funktionswerte doppelt so groß sind wie vorher? Bezogen auf den Sinusgraphen hieße das, dass man die Amplitude verdoppelt.
(b) Übertrage die Überlegungen auf die Sinusfunktion.
Aufgabe 5: Verändern der Periode
(a) Nutze das nachfolgende Applet und verschiebe in ihr den Schieberegler $b$ auf $2$. Beschreibe präzise, was sich nun verändert hat.
(b) Wir betrachten nur das Intervall $[0, 2\pi]$, weil sich der Sinusgraph danach ohnehin wiederholt (Periode des Sinus: $2\pi$). Welche Änderung kannst du nun beim roten Graphen feststellen? Welche Periode hat er? Was muss man mit dem grünen Graphen tun, um den roten zu erhalten?
(c) Drücke auf die Schaltfläche zum Vergleich der Graphen. Es wird ein Schieberegler sichtbar. Mit ihm kannst du den $x$-Wert für den roten Graphen einstellen; der rote Punkt folgt dem Graphen. Der grüne Punkt ist immer auf derselben Höhe (also dieselbe $y$-Koordinate), aber auf dem ursprünglichen Sinusgraphen. Probiere das selbst aus, bis dir der Zusammenhang von Schieberegler und den beiden Punkten klar ist.
(d) Der rote Punkt befindet sich an der Position $x$. Kannst du ausrechnen, an welcher Position $x'$ sich der grüne Punkt befindet? Tipp: Probiere es einfach mal für $x=1$, $x=2$ usw. aus.
(e) Der rote Punkt hat die Koordinaten $(x | g(x))$, wobei wir ja gerade herausfinden wollen, welche Funktionsgleichung $g(x)$ hat. Der grüne Punkt kann uns hier helfen; seine Koordinaten sind $(x' | \sin(x'))$. Er hat ja denselben $y$-Wert wie der rote Punkt, also gilt $g(x) = \sin(x')$. Setze dein Ergebnis aus (d) für $x'$ in die Gleichung ein. Du erhältst die Funktionsgleichung für den roten Graphen.
(f) Überprüfe den Zusammenhang für andere Werte von $b$.
Zum Herunterladen: periode.ggb
Aufgabe 6: Alle Veränderungen
Untersuche mit dem nachfolgenden Applet alle Veränderungen einzeln. Ändere dafür einen Schieberegler nach dem anderen und lass dir die zugehörige Veränderung veranschaulichen. Dabei wird in grau immer der Graph angezeigt, in dem alle Änderungen außer einer durchgeführt sind, z.B. alle Änderungen außer die Verschiebung nach rechts.
Zum Herunterladen: veranschaulichung.ggb
